针对您提出的问题——未与对方公司签订合同但给对方公司开了发票，且款项未付，是否可以起诉对方公司，以下是我的详细解答：
一、法律分析
合同关系的认定：
- 尽管您未与对方公司签订书面合同，但根据商业实践和相关法律规定，如果双方之间存在实际的交易行为（如您提供了货物或服务），并且您已经开具了发票，这通常可以视为双方之间存在事实上的合同关系。
付款义务：
- 在这种事实上的合同关系中，对方公司有义务按照交易习惯或双方之间的约定支付款项。如果对方未支付，则构成违约，您有权要求其履行付款义务。
起诉的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当一方不履行合同义务时，另一方有权要求其承担违约责任，包括继续履行、采取补救措施或赔偿损失等。因此，您完全有权通过法律途径来维护自己的合法权益。
二、应对措施
尝试协商：
- 首先，我建议您尝试与对方公司进行友好协商，明确表达您的付款要求，并了解对方未付款的原因。通过协商，双方可能能够达成一致的解决方案。
发送催款函：
- 如果协商无果，您可以向对方发送正式的催款函件。在函件中，详细注明开票日期、发票号码、金额等关键信息，并明确要求对方在规定时间内支付款项。同时，保留好发送记录作为证据。
准备证据并提起诉讼：
- 如果协商和催款均未能解决问题，您应准备充分的证据材料向法院提起诉讼。证据可以包括发票、交易记录、交货凭证、服务确认单、沟通记录（如邮件、短信、微信聊天记录等）以及催款函及回复等。这些证据将有助于证明您与对方公司之间存在事实上的合同关系以及对方未履行付款义务的事实。
确定管辖法院：
- 在提起诉讼时，您需要确定管辖法院。根据《民事诉讼法》及相关司法解释的规定，您可以选择被告住所地或合同履行地法院进行起诉。如果合同中有约定管辖法院，则按约定执行；若无约定或约定不明确，且争议标的为给付货币的，接收货币一方所在地（即您所在地）法院通常具有管辖权。
申请强制执行：
- 如果您获得胜诉判决但对方仍不履行付款义务，您可以向法院申请强制执行。法院将通过法律手段强制对方支付款项，以维护您的合法权益。
三、注意事项
发票合规性：
- 在提起诉讼前，请确保您所提供的发票符合《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定。如果发票存在不合规的情况，可能会影响您的诉讼结果。
风险防范：
- 为了防范类似风险再次发生，我建议您在未来的交易中尽量签订书面合同，并明确约定付款时间、方式、违约责任等相关条款。特别是针对先开发票后付款的交易方式，应更加谨慎并在合同中作出相应安排。
综上所述，尽管您未与对方公司签订书面合同，但您仍然有权通过法律途径来维护自己的合法权益。在尝试协商和催款无果后，您可以准备充分的证据材料向法院提起诉讼，并申请强制执行以迫使对方履行付款义务。同时，也请注意确保发票的合规性和加强风险防范措施以避免类似问题再次发生。