结论：在劳务合同期内因工受伤且合同刚到期时，公司不能立刻断开所有关系。公司应继续承担相应的法律责任，包括但不限于工伤赔偿、医疗费用支付等。
分析如下：
工伤认定的前提：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。这意味着，只要是在工作期间因工作原因受伤，无论合同是否到期，都应被认定为工伤。
合同到期与工伤责任的关系：
- 劳务合同到期并不意味着公司可以立即免除对员工的工伤责任。工伤责任是基于员工在工作过程中受伤的事实而产生的，与合同的到期与否无直接关联。
- 公司应继续履行其作为用人单位的义务，包括但不限于提供必要的医疗救治、支付工伤赔偿等。
公司的法律责任：
- 医疗费用支付：公司应承担员工因工伤产生的医疗费用，包括住院费、手术费、药费等。
- 工伤赔偿：根据工伤等级和相关规定，公司应支付相应的工伤赔偿金，包括一次性伤残补助金、伤残津贴等。
- 其他责任：如员工因工伤导致无法继续工作，公司还应考虑提供必要的职业康复服务或安排适当的工作岗位。
员工权益保护：
- 员工在因工受伤后，有权要求公司继续履行其法律责任，包括提供医疗救治和支付工伤赔偿。
- 如公司拒绝履行其责任，员工可以通过法律途径维护自己的权益，如向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
建议：
- 与公司沟通：首先，建议员工与公司进行沟通，明确表达自己的诉求和期望，要求公司继续履行其法律责任。
- 收集证据：员工应收集与工伤相关的证据，如医疗记录、工伤认定书等，以备后续维权之需。
- 寻求法律援助：如公司拒绝履行其责任或沟通无果，员工可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的权益。
可能的法律后果：
- 如公司违反相关法律法规，拒绝支付工伤赔偿或医疗费用，可能面临劳动行政部门的处罚，包括但不限于罚款、责令改正等。
- 员工有权通过法律途径追究公司的法律责任，要求公司承担相应的赔偿责任。
综上所述，公司在劳务合同期内因工受伤且合同刚到期时，不能立刻断开所有关系，而应继续承担相应的法律责任。员工应了解自己的权益，并在必要时寻求法律援助以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。