结论前置：工作4个多月未签劳动合同离职，申请劳动仲裁时，用人单位需支付3个月的双倍工资差额。

法律依据与计算逻辑

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定明确了双倍工资的计算起止时间和条件。

1. 起算时间：从第2个月开始计算，即入职后的第2个月至离职前的月份（但不超过1年）。
2. 补偿范围：共3个月（第2、3、4个月）的双倍工资差额。假设月工资为5000元，则双倍工资差额为：\(5000元/月 \times 3月 = 15,000元\)。
3. 注意事项：
   • 第1个月无需支付双倍工资，因为法律规定允许1个月内签订合同。
   • 若超过1年仍未签合同，视为已签订无固定期限劳动合同，但前11个月的双倍工资差额仍可主张。

申请劳动仲裁的实操建议

1. 保留证据：

   • 工资流水：显示用人单位定期发放工资的银行记录。
   • 考勤记录：如打卡记录、工作时长记录等，证明实际工作时间。
   • 工作沟通记录：如邮件、微信聊天记录等，证明与用人单位存在劳动关系及工作内容。
   • 其他证据：如工作证、服务证、同事证言等，进一步证明劳动关系。

2. 协商或仲裁：

   • 先与用人单位协商，尝试达成和解协议，要求支付双倍工资差额。
   • 若协商未果，可向当地劳动仲裁委员会申请仲裁，提交上述证据以支持诉求。

3. 时效限制：

   • 劳动争议申请仲裁的时效期间为1年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。
   • 在本案例中，即从离职之日起1年内申请仲裁，否则可能因超过时效而丧失胜诉权。

特殊情况与风险提示

1. 因劳动者自身原因未签订合同：

   • 如果用人单位能证明未签合同是因劳动者故意拖延、拒绝签订或其他不可归责于用人单位的客观原因导致，则用人单位无需支付双倍工资。
   • 因此，在申请仲裁前，劳动者应确保自己没有故意拖延或拒绝签订合同的行为。

2. 不可抗力等合理情形：

   • 如果用人单位能证明未签合同是因不可抗力等合理情形导致（如自然灾害、政府行为等），也可能无需支付双倍工资。
   • 但这种情况较为罕见，且需要用人单位提供充分的证据来证明。

3. 非全日制用工：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第六十九条的规定，非全日制用工双方当事人可以订立口头协议，无需签订书面劳动合同。
   • 因此，如果劳动者属于非全日制用工（如兼职、临时工等），则不能以未签订书面劳动合同为由要求双倍工资补偿。

示例说明

假设小张于2023年1月1日入职某公司，公司一直未与其签订劳动合同。小张于2023年5月离职后，决定申请劳动仲裁要求公司支付双倍工资差额。

• 结果：小张可主张2023年2月至4月的双倍工资差额（共3个月），而非4个月或1年。
• 计算：假设小张月工资为5000元，则双倍工资差额为15,000元。

总结与建议：工作4个多月未签劳动合同离职后，申请劳动仲裁时用人单位需支付3个月的双倍工资差额。在申请仲裁前，劳动者应保留好相关证据，并了解仲裁时效和特殊情况下的风险提示。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。