当交通事故逃逸责任认定书出来后，对方却拖着不赔偿，您可以采取以下一系列措施来维护自己的合法权益。

一、明确法律责任与自身权益

首先，根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十四条，交通事故赔偿争议可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等多种方式解决。对方拖延赔偿，不仅可能面临法律责任加重的风险，如被强制执行赔偿义务或承担额外诉讼费用，同时您也有权要求对方按照责任比例承担赔偿责任，这包括医疗费、误工费、护理费、交通费等实际损失。

二、具体应对措施

1. 沟通协商

   • 直接对话：尝试与对方进行面对面的沟通，明确指出其赔偿责任和依据，了解对方不赔偿的具体原因，并尝试通过友好协商解决问题。
   • 提及法律后果：在沟通过程中，可以提醒对方不赔偿可能带来的法律后果，如强制执行、个人信用受损等，以促使其主动履行赔偿义务。
   • 记录证据：务必留存好沟通记录，如电话录音、短信、邮件等，以备后续使用。

2. 申请交警部门调解（行政调解）

   • 提交调解申请：携带事故认定书、医疗单据等材料向处理事故的交警大队提出调解请求。需注意，调解需在收到认定书后10日内提出。
   • 参与调解程序：交警会组织双方面谈，促成赔偿协议。若达成协议，可制作调解书并加盖公章；若未达成，应保留调解记录作为诉讼证据。

3. 向人民调解组织申请调解

   • 除了交警部门，您还可以向交通事故调解中心等人民调解组织申请调解。这些组织具有专业性和权威性，能够更有效地促使双方达成赔偿协议。

4. 提起民事诉讼（司法途径）

   • 准备诉讼材料：包括起诉状（写明诉求及事实理由）、事故认定书复印件、医疗费用清单、收入证明等。建议委托律师协助整理证据链，以确保诉讼的顺利进行。
   • 向法院立案：向被告住所地或事故发生地基层法院提交材料。法院受理后将安排开庭，审理周期通常为3-6个月。
   • 申请财产保全（可选）：若担心对方转移财产，可在起诉时申请冻结其银行账户或查封车辆。需提供担保并缴纳保全费。
   • 法院审理与执行：法院会根据法律规定和具体案件情况进行审理，并作出判决。若对方仍不履行判决，可以申请法院强制执行，法院有权采取查封、扣押、冻结甚至拍卖对方财产等措施来迫使对方履行赔偿义务。

5. 申请保险代位求偿（适用于己方有保险的情况）

   • 启动保险理赔：先向自己投保的保险公司报案索赔，由保险公司垫付赔偿款。例如，车损险可先赔付维修费用。
   • 配合追偿程序：签署权益转让书，授权保险公司向对方追偿。此方式可快速获得赔偿，但需注意可能影响个人诉讼权利。

三、注意事项

1. 时效管理：交通事故损害赔偿的诉讼时效一般为三年，从您知道或应当知道自己的权利被侵害之日起计算。务必在诉讼时效内采取法律行动，以免丧失胜诉权。
2. 证据固定：保存所有诊疗记录、费用票据原件，拍摄事故现场照片，收集证人联系方式等，以备法庭质证。
3. 执行风险预判：即使胜诉，若对方无财产可供执行，也需提前查询其房产、车辆登记信息，必要时申请列入失信被执行人名单，以增加对方履行赔偿义务的压力。

综上所述，面对对方拒绝赔偿的情况，您应综合运用沟通协商、申请调解、法律诉讼以及保险理赔等多种手段来维护自己的权益。同时，注意保留好相关证据并关注诉讼时效问题，以确保自己的合法权益得到有效保障。