面对交通事故中对方逃逸且交警迟迟未出具交通事故责任认定书的情况，您可以采取以下一系列措施来有效推进事情进展并维护自身合法权益：
一、了解法定的出具时间
首先，您需要明确交通事故责任认定书的法定出具时间。根据《道路交通事故处理程序规定》：
- 一般情况：公安机关交通管理部门应自现场调查之日起十日内制作道路交通事故认定书。
- 交通肇事逃逸案件：在查获交通肇事车辆和驾驶人后十日内制作。
- 需要进行检验、鉴定的案件：应在检验报告、鉴定意见确定之日起五日内制作。
对照您的情况，判断是否已经超出了上述规定的出具时间。
二、主动与交警部门沟通
- 了解原因：直接前往负责该案件的交警大队，或通过电话咨询，礼貌地询问承办民警责任认定书延迟出具的具体原因，如事故调查复杂性、检验鉴定进度等。
- 关注案件进展：在沟通过程中，同时了解案件的最新调查进度，包括逃逸者是否已被找到，以及相关检验鉴定工作的完成情况。
三、依据法律规定提醒交警
若交警未能在规定时间内出具责任认定书且无合理理由，您可考虑以书面形式向交警部门发送催告函，明确指出法律规定的出具期限，并要求尽快依法作出责任认定。催告函应通过可靠方式送达，并保留好相关凭证。
四、申请复核与向上级反映
- 申请复核：若后续收到认定书但对内容有异议，或认为其存在错误、遗漏，可在收到认定书之日起三日内向出具认定书的公安机关交通管理部门提出书面复核申请。
- 向上级反映：若与经办交警沟通无果，或对给出的解释不满意，可向上一级公安机关交通管理部门反映情况，通过书信、电子邮件或到上级部门办公地点等方式进行申诉。
五、投诉举报与法律救济
- 投诉举报：若发现交通管理部门在处理过程中存在违法违规行为，如故意拖延、徇私舞弊等，可向相关部门进行投诉举报。
- 法律救济：
- 行政复议：依据《行政复议法》，若认为交警部门未在法定期限内作出交通事故认定书侵犯了自己的合法权益，可在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。
- 行政诉讼：根据《行政诉讼法》，也可依法向人民法院提起行政诉讼，请求法院判决交警部门在一定期限内履行作出交通事故认定书的法定职责。但需注意，行政诉讼相对复杂，需准备充分的证据和相关材料。
六、保留证据并考虑其他途径
- 保留证据：在此期间，务必保留好所有与事故相关的证据材料，如现场照片、医疗记录、证人证言等。这些证据在后续的责任认定及可能的法律程序中至关重要。
- 考虑其他途径：若因责任认定书未出具而导致权益受损，在后续的法律程序中，您可主张相应的赔偿。此外，还可考虑通过调解或诉讼等方式解决纠纷。调解可在双方自愿的基础上进行，而诉讼则是通过法院对纠纷进行裁决。
七、寻求专业法律咨询
在整个过程中，考虑咨询专业的律师，以获取更具体的法律建议和帮助。律师将根据您的具体情况提供法律建议，并协助处理相关事宜，确保您的权益得到充分保护。
综上所述，面对对方逃逸且交警迟迟不下交通事故责任认定书的情况，您应积极采取措施来保障自己的权利。通过了解法律法规、与交警部门沟通、申请复核与向上级反映、投诉举报与法律救济、保留证据并考虑其他途径以及寻求专业法律咨询等方式，您将能够更有效地维护自己的合法权益。