结论前置：您可以通过收集其他证据证明劳动关系终止，并据此向社保部门申请失业保险金。以下是具体分析和操作建议：
关于合同丢失与终止证明的替代方案
根据《劳动合同法》第五十条，用人单位应在解除或终止劳动合同时出具证明。若单位拒绝，您可通过以下方式证明劳动关系终止：
- 收集间接证据：如工资流水（显示最后发放日期）、考勤记录、工作证、同事证言、离职交接单等，证明合同已到期且未续签；
- 书面催告单位：通过邮件、短信或书面函件要求单位出具终止证明，保留催告记录作为证据；
- 申请劳动仲裁：若单位仍拒绝，可向劳动仲裁委申请确认劳动关系终止，仲裁裁决书可作为有效证明。
申请失业保险金的条件与流程
根据《社会保险法》第四十五条，申请失业保险金需满足：
- 失业前用人单位和本人已缴纳失业保险费满一年；
- 非因本人意愿中断就业（合同到期不续签属于“非本人意愿”）；
- 已进行失业登记，并有求职要求。
操作步骤：
- 第一步：办理失业登记：携带身份证、户口本、照片等材料，到户籍地或常住地社区/街道办失业登记窗口办理；
- 第二步：提交申请材料：向社保部门提交失业登记证明、劳动关系终止证明（或仲裁裁决书）、身份证、银行卡等材料；
- 第三步：审核与领取：社保部门审核通过后，按月发放失业保险金至您的银行卡。
- 若单位未缴纳失业保险的救济途径
若单位未依法缴纳失业保险导致您无法领取失业金，可依据《社会保险法》第八十六条，要求单位补缴并赔偿损失。具体操作：
- 向劳动监察部门投诉单位未缴纳社保；
- 同步申请劳动仲裁，主张单位赔偿因未缴纳失业保险导致的失业金损失（需证明损失金额，如按缴费年限计算的应领失业金数额）。
温馨提示：
- 合同丢失不影响劳动关系终止的事实，关键是通过其他证据固定这一事实；
- 申请失业金时，务必确保社保部门要求的材料齐全（如部分地区需提供解除合同原因的书面说明）；
- 若单位存在恶意拖延或拒不配合，可向劳动监察部门举报或直接起诉，维护自身权益。
如有进一步疑问（如证据收集细节、仲裁流程等），欢迎随时向我咨询。