结论：当合同到期公司却不开具离职证明时，你有权采取一系列法律措施来维护自己的合法权益。以下是从不同角度为你提供的详细解答和建议。
一、与公司协商沟通
首选方式：你可以首先尝试与公司的人力资源部门或相关负责人进行友好沟通，明确指出开具离职证明是公司的法定义务，依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司应当在解除或终止劳动合同时依法出具离职证明。同时，你可以说明离职证明对于新工作入职、社保转移等方面的重要性，以促使公司尽快开具。
保持理性：在沟通过程中，请保持冷静和理性，避免情绪化冲突，以寻求问题的快速解决。如果公司同意开具离职证明，那么问题即可得到圆满解决。
二、向劳动行政部门投诉
准备证据：如果公司拒绝开具离职证明，你需要收集劳动合同、工资支付记录、工作证等相关证据，以证明你与公司的劳动关系及合同到期的事实。
提交投诉：向当地劳动行政部门（如劳动监察大队）提交书面投诉材料，详细说明情况并要求其责令公司开具离职证明。投诉时，请确保提供准确的公司信息和联系方式，以便劳动行政部门能够及时与公司取得联系。
等待处理：劳动行政部门有权对公司进行监督检查，并会责令其限期改正。在等待处理结果期间，请保持联系方式畅通，以便劳动行政部门能够及时与你沟通处理进展。
三、申请劳动仲裁
完善证据链：在投诉基础上，你可以进一步收集考勤记录、工作邮件、沟通记录等补充证据，形成完整的证据链，以支持你的仲裁请求。
提交仲裁申请：向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，明确请求单位开具离职证明，并详细阐述事实和理由。在提交仲裁申请时，请确保提供所有相关证据材料，并按照仲裁委员会的要求填写相关表格。
参与庭审：在仲裁庭审过程中，你需要清晰陈述案件事实，出示相关证据，并回答仲裁员的问题。请务必保持诚实和客观，以争取仲裁委的支持。
执行裁决：若仲裁裁决支持你的请求，而公司仍不履行，你可以向法院申请强制执行。在执行过程中，请积极配合法院的工作，并提供必要的协助和证据。
四、提起诉讼（如必要）
前提条件：若对仲裁结果不满意或公司拒不执行仲裁裁决，你可以向人民法院提起诉讼。在提起诉讼前，请确保你已经收集了充分的证据来支持你的诉求。
诉讼准备：整理好所有证据材料，撰写起诉状，明确诉讼请求和理由。在起诉状中，请详细阐述公司未开具离职证明的事实、法律依据以及你因此遭受的损失。
参与诉讼：在法院指定的时间和地点参与庭审，积极主张自己的权益。在庭审过程中，请遵守法庭纪律，尊重法官和对方当事人的权利。
执行判决：若法院判决支持你的诉求，而公司仍不履行，你可以申请法院强制执行。在执行过程中，请积极配合法院的工作，并提供必要的协助和证据。
五、注意事项
保留证据：在整个过程中，请务必妥善保管所有相关证据材料，如与公司沟通的录音、聊天记录、劳动合同、工资条、工作记录等。这些证据将在后续的投诉、仲裁或诉讼过程中发挥重要作用。
了解法律：熟悉相关法律法规，确保自己的行动合法合规。你可以通过阅读相关法律书籍、咨询法律专业人士或查阅官方网站等方式来了解相关法律法规。
及时行动：一旦发现公司未开具离职证明，请尽快采取行动来维护自己的权益。拖延时间可能会导致证据丢失或错过维权时机。
最后，面对公司拒不开具离职证明的情况，你应首先尝试与公司协商沟通；若协商无果，则依次向劳动行政部门投诉、申请劳动仲裁；必要时，可向人民法院提起诉讼。在整个过程中，请保持冷静和理性，注重证据收集，以确保自己的合法权益得到有效维护。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。