核心结论：合同到期不续签且公司不开失业险证明的情况下，您有权通过合法途径要求公司开具证明，并可依法享受失业保险待遇。以下是具体分析：

1. 公司不开失业险证明的合法性分析
   根据《社会保险法》第五十条及《失业保险条例》第十六条，用人单位在劳动合同终止后，有义务及时为失业人员出具终止劳动关系的证明，并告知其享受失业保险待遇的权利。若公司拒绝开具证明，属于违法行为，您有权通过劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁要求公司履行义务。

2. 您的权利与救济途径

   • 权利：您作为失业人员，在满足“非本人意愿中断就业”（合同到期不续签属于此类）、已缴纳失业保险满1年、办理失业登记并有求职要求等条件时，有权领取失业保险金。
     
   • 救济途径：
     
     1. 协商：首先可与公司协商，要求其出具书面证明并加盖公章；
        
     2. 投诉：向当地劳动保障监察大队举报，要求公司限期改正；
        
     3. 仲裁/诉讼：若公司仍拒绝，可申请劳动仲裁或直接向法院起诉，要求公司承担行政责任（如罚款）或民事赔偿责任（如因未开具证明导致您无法领取失业金的损失）。

3. 实务建议

   • 收集证据：保留劳动合同、终止通知、沟通记录（如微信、邮件）等，证明公司未履行义务；
     
   • 及时行动：失业保险待遇需在终止劳动关系后60日内申请，逾期可能丧失资格；
     
   • 替代方案：若公司拒不配合，可尝试通过社保部门查询缴费记录，结合其他证据（如工资流水、同事证言）证明劳动关系，间接主张权利。

总结：公司不开失业险证明的行为违法，您可通过协商、投诉或法律途径维护权益。建议优先与公司沟通，同时准备证据以防纠纷升级。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。