结论：当您与公司终止合同且不续签时，若需要处理相关事宜或咨询，一般应联系公司的人力资源部门（HR部门）。不过，具体负责部门可能因公司内部架构或合同类型有所不同，以下为你详细分析。

一、人力资源部门（HR部门）的常规职责

在大多数公司中，人力资源部门是负责员工合同管理、招聘、离职等人事相关事务的主要部门。当您决定不续签合同并终止与公司的劳动关系时，HR部门通常会负责处理以下事宜：

1. 合同终止手续：包括收集您的离职申请、办理离职证明、结算工资和福利等。
2. 离职面谈：了解您离职的原因，以便公司改进管理或招聘策略。
3. 档案转移：如果您的档案存放在公司，HR部门会协助您将档案转移至新的工作单位或人才市场。

二、可能涉及的其他部门

虽然HR部门是处理合同终止事宜的主要部门，但在某些情况下，您可能还需要与其他部门进行沟通：

1. 财务部门：如果您有未结算的报销、奖金或借款等财务事宜，可能需要与财务部门联系。
2. 法务部门：如果合同终止涉及复杂的法律问题，如违约赔偿、竞业限制等，公司可能会要求法务部门介入处理。不过，这种情况相对较少，且通常是在HR部门无法独立处理时才会发生。

三、特殊情况下的处理

1. 如果公司没有专门的HR部门：一些小型公司或初创企业可能没有设立专门的HR部门，此时合同终止事宜可能由行政、综合管理或老板直接负责。您可以向公司内的同事或上级询问具体负责人员。
2. 如果合同中有特殊约定：有些合同可能明确规定了合同终止时的处理流程或负责部门。在这种情况下，您应首先查阅合同条款，并按照合同约定进行操作。

四、建议与注意事项

1. 提前沟通：在决定不续签合同前，建议您提前与公司沟通，了解合同终止的具体流程和所需材料，以便做好充分准备。
2. 保留证据：在处理合同终止事宜时，建议您保留好相关证据，如离职申请、离职证明、工资结算单等，以备不时之需。
3. 咨询专业意见：如果您对合同终止事宜存在疑问或担忧，可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。

总之，当您与公司终止合同且不续签时，一般应首先联系公司的人力资源部门（HR部门）。如有特殊情况或疑问，可以进一步与公司内的其他相关部门或专业人士进行沟通。