结论：这种情况涉及工伤认定及与工厂的责任划分问题，若能认定为工伤，工厂需承担相应责任；若不能认定，工厂责任相对较轻，但也可能因未签劳动合同存在其他责任。以下是具体分析：

一、能否认定为工伤是关键

1. 上下班途中发生事故认定工伤的条件 根据《工伤保险条例》及相关规定，在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。这里有几个关键要素，一是“上下班途中”，刚下班这个时间点通常符合这一条件；二是“非本人主要责任”，这需要交通管理部门出具的事故责任认定书来确定。如果在这个事故中，你承担的是次要责任或者无责任，那么就有可能被认定为工伤。
2. 认定工伤后的责任承担 如果被认定为工伤，工厂作为用人单位，就需要承担相应的工伤保险责任。即使工厂没有和你签订劳动合同，只要存在事实劳动关系（比如有工资发放记录、工作证、考勤记录等能证明你在该厂工作），工厂依然不能免除其责任。工厂需要按照工伤保险待遇的标准，支付你医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等费用。如果工厂没有为你缴纳工伤保险，那么这些费用全部由工厂承担。

二、若不能认定为工伤的情况

1. 工厂责任相对较轻 如果经过调查，交通管理部门认定你在事故中承担主要责任或者全部责任，那么就不符合工伤认定的条件。在这种情况下，工厂的责任相对较轻。不过，工厂没有和你签订劳动合同，这本身就违反了《劳动合同法》的规定。
2. 未签劳动合同的责任 根据《劳动合同法》，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。所以，你可以要求工厂支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。同时，你还可以要求工厂为你补缴工作期间的社会保险。

三、具体操作建议

1. 收集证据 首先要收集能证明你与工厂存在事实劳动关系的证据，比如工资转账记录、工作时的照片、同事的证言等。同时，要保留好交通事故的相关证据，如事故责任认定书、医疗费用发票等。
2. 与工厂协商 在收集好证据后，可以先和工厂进行协商，说明你的诉求，看工厂是否愿意承担相应的责任。如果工厂愿意协商解决，这是比较快捷的方式。
3. 申请劳动仲裁或提起诉讼 如果协商不成，你可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求工厂承担未签劳动合同的责任以及工伤赔偿（如果能认定为工伤）。如果对劳动仲裁结果不满意，还可以向法院提起诉讼。

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