在处理员工因孕吐厉害而请假且未提供医嘱的情况时，我们需要综合考虑多个方面来做出决策。

首先，从法律层面来看，保护怀孕女职工的合法权益是用人单位的重要责任。孕吐是怀孕早期常见的生理反应，对于部分孕妇来说，这种反应可能相当严重，影响其正常工作。在这种情况下，孕妇有权根据自身情况申请休息休假。

其次，关于请假的性质，虽然病假通常需要提供医嘱或病假证明，但在特殊情况下，如孕吐等无法提前预测且难以通过医疗手段立即缓解的症状，员工申请事假也是合理的。特别是当员工已经明确表示愿意放弃病假期间的工资待遇，转而申请事假时，这实际上是对自身权利的一种让度，用人单位应当予以理解和尊重。

再者，从审批流程来看，用人单位有权对劳动者的休息休假申请进行审批，但这一权利的行使应当合理、恰当。在员工已经通过适当方式（如企业微信、邮件等）向直接上级提出请假申请，并说明了请假原因的情况下，用人单位应当及时给予回应。如果用人单位对请假性质或所需材料有异议，应当及时提出，并与员工进行沟通协商，而不是直接以旷工为由辞退员工。

结合您提到的具体情况，如果员工因孕吐厉害而当天请假，且已经通过适当方式向直接上级提出了申请，尽管未提供医嘱，但考虑到孕吐的特殊性和不可预测性，以及员工已经表明愿意放弃病假工资待遇的态度，用人单位应当批准其请假申请。如果用人单位因此辞退员工，可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。

最后，建议用人单位在处理此类情况时，加强与员工的沟通协商，理解员工的实际困难，并尽可能提供必要的支持和帮助。同时，也可以考虑完善内部的请假制度，明确在特殊情况下（如孕吐等）的请假流程和审批标准，以减少类似纠纷的发生。