结论：在第六年合同到期终止的情况下，公司是否需要赔偿以及赔偿的月数，主要取决于劳动合同的类型以及终止的具体原因。以下是具体分析：
如果劳动合同是固定期限劳动合同，且合同到期自然终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，除非用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式是：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 具体计算：在您的情况下，第六年合同到期终止，如果符合支付经济补偿的条件，那么公司应当支付6个月工资作为经济补偿。
如果劳动合同是无固定期限劳动合同，且因公司原因终止：
- 无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。如果因公司原因（如公司破产、解散等）需要终止无固定期限劳动合同，同样需要支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式与固定期限劳动合同相同，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 具体计算：在您的情况下，如果工作满六年且因公司原因终止无固定期限劳动合同，公司也应当支付6个月工资作为经济补偿。但需注意，如果是因劳动者原因（如严重违反公司规章制度等）被解除劳动合同，则无需支付经济补偿。
特殊情况：
- 如果劳动合同到期时，公司提出以原条件或更好条件续订劳动合同，但劳动者拒绝续订，那么公司无需支付经济补偿。
- 如果劳动合同到期时，公司降低劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者拒绝续订，那么公司仍然需要支付经济补偿。
建议：
- 在处理此类问题时，建议您首先查看自己的劳动合同类型以及终止的具体原因。
- 如果符合支付经济补偿的条件，您可以与公司协商要求支付相应的经济补偿。
- 如果公司拒绝支付或双方无法达成一致，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
法律后果：
- 如果公司未依法支付经济补偿，劳动者有权向劳动行政部门投诉，劳动行政部门将责令公司限期支付；逾期不支付的，将责令公司按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。