结论：公司可以选择不续签第一次劳动合同结束后回来工作的原雇佣人员的劳动合同，但需根据具体情况支付经济补偿金。
分析说明：
劳动合同到期不续签的合法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，劳动合同即行终止。这意味着，当第一次签订的劳动合同到期时，公司有权选择不续签，这是合法的。
经济补偿金的支付：
- 如果公司决定不续签劳动合同，且该员工不存在《劳动合同法》规定的用人单位不得解除劳动合同的情形（如患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的；女职工在孕期、产期、哺乳期的等），则公司需要向员工支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算标准通常按照员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
特殊情况下的处理：
- 如果员工在劳动合同期满时，已经符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年、连续订立二次固定期限劳动合同等），且员工提出或者同意续订、订立劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，公司应当与其订立无固定期限劳动合同。在这种情况下，如果公司选择不续签，可能面临法律风险。
行动建议：
- 评估员工情况：在决定是否续签劳动合同前，公司应评估员工的工作表现、岗位需求以及员工是否符合签订无固定期限劳动合同的条件等因素。
- 沟通协商：与员工进行充分的沟通协商，了解员工的意愿和期望，尽量达成双方都能接受的解决方案。
- 依法支付经济补偿金：如果公司决定不续签劳动合同，应依法向员工支付经济补偿金，并办理相关的离职手续。
后续法律风险防范：
- 完善劳动合同管理：公司应建立完善的劳动合同管理制度，明确劳动合同的签订、续签、解除等流程和要求，避免因管理不善而引发的法律风险。
- 加强员工培训：定期对员工进行劳动法律法规的培训，提高员工的法律意识和维权能力，减少因误解或不知情而引发的劳动纠纷。
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