当监护人不履行其法定的监护义务时，这是一个涉及法律责任和被监护人权益保护的重要问题。以下是我为您详细解答这一问题的步骤和法律依据：

首先，我们要明确监护人的基本职责。监护人负责代理被监护人实施民事法律行为，并保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益。这是监护人的基本法律义务，必须得到履行。

当监护人怠于履行这些职责，甚至导致被监护人处于危困状态时，法律提供了相应的救济措施。根据《民法典》第三十六条的规定，如果监护人怠于履行监护职责，人民法院可以根据有关人员或组织的申请，撤销其监护资格。这一规定旨在保护被监护人的合法权益，防止他们因监护人的不作为而受到损害。

在撤销监护资格后，法院会安排必要的临时监护措施，并按照最有利于被监护人的原则依法指定新的监护人。这一过程确保了被监护人在监护人缺失的情况下，仍然能够得到必要的照顾和保护。

此外，如果监护人的不作为行为情节恶劣，还可能触犯刑法。我国刑法规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，将被追究刑事责任。这意味着，监护人如果严重不履行其监护义务，不仅可能面临民事法律的制裁，还可能承担刑事责任。

在实际操作中，如果您发现监护人不履行其监护义务，您可以向被监护人住所地的居（村）委员会或者民政部门报告。这些机构有责任和义务为被监护人安排必要的临时生活照料措施，并可能进一步采取法律行动来保护被监护人的权益。

综上所述，当监护人不履行其法定的监护义务时，法律提供了明确的救济措施和制裁手段。如果您或您身边的人遇到这种情况，请及时向相关部门报告，并寻求法律帮助以保护被监护人的合法权益。