结论：是否申请劳动仲裁，需结合老板欠薪的具体情况、你的经济状况及对追回欠薪的紧迫性等多方面因素综合考虑。以下从不同角度为你详细分析：

一、从法律维权的角度

1. 法律赋予的权利：根据《劳动争议调解仲裁法》等相关法律法规，劳动者在遭遇欠薪等劳动争议时，有权向劳动仲裁机构申请仲裁，以维护自己的合法权益。如果老板明确表示欠薪且给出了一个相对明确的支付时间（如十几天后），但这并不妨碍你提前通过法律途径来保障自己的权益。因为口头承诺存在不确定性，一旦老板到期不支付，你可能需要再次花费时间和精力去追讨。
2. 仲裁的时效性：劳动仲裁有一定的时效限制，通常为一年（具体时效可能因地区和案件类型有所不同，需以当地规定为准）。如果你选择等待十几天，需确保这不会超过仲裁时效，否则可能会丧失通过仲裁追讨欠薪的权利。

二、从实际情况的角度

1. 老板的信用状况：如果老板以往信用良好，且此次欠薪是由于特殊原因（如临时资金周转困难）导致的，且他明确表示会支付，那么你可以考虑给予一定的宽限期。但即便如此，也建议你与老板签订书面协议，明确欠薪金额、支付时间等关键信息，以作为后续维权的证据。
2. 你的经济状况：如果你目前经济状况紧张，急需这笔欠薪来维持生活或支付其他必要费用，那么等待十几天可能会给你带来较大的经济压力。在这种情况下，你可以考虑立即申请劳动仲裁，以尽快追回欠薪。

三、从操作流程的角度

1. 申请仲裁的流程：申请劳动仲裁需要准备相关证据材料（如劳动合同、工资条、欠薪证明等），并填写仲裁申请书。这个过程可能需要一定的时间和精力。如果你选择等待十几天，可以利用这段时间来准备这些材料，以便在老板到期不支付时能够迅速申请仲裁。
2. 仲裁结果的不确定性：即使你申请了劳动仲裁，仲裁结果也并非一定如你所愿。仲裁机构会根据双方提供的证据和法律法规进行裁决。如果老板在仲裁过程中提出合理的抗辩理由或证据，可能会影响仲裁结果。因此，在申请仲裁前，你需要充分评估自己的证据和法律依据是否充分。

四、建议与行动

1. 与老板沟通：在决定是否申请仲裁前，你可以再次与老板沟通，了解他欠薪的具体原因和支付计划。如果老板能够给出合理的解释和明确的支付时间，并且你相信他的信用，那么可以考虑给予一定的宽限期。
2. 准备仲裁材料：无论你最终决定是否申请仲裁，都建议你提前准备相关证据材料。这样，在老板到期不支付时，你能够迅速采取行动，维护自己的权益。
3. 咨询专业意见：如果你对是否申请仲裁存在疑虑或不确定如何操作，可以向我咨询。作为专业律师，我可以根据你的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。

最后，是否申请劳动仲裁需根据你的实际情况和法律权益来综合考虑。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。