结论：员工到达法定退休年龄后，公司与其之间的劳动合同是否终止及辞退手续如何办理，需根据员工是否开始依法享受基本养老保险待遇以及具体地区的司法实践来确定。以下分情况详细说明：
员工开始依法享受基本养老保险待遇：
- 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，当员工开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同即告终止。
- 辞退手续：在此情况下，公司无需办理辞退手续，因为劳动合同是基于法律规定自然结束的。公司只需与员工确认养老保险待遇的享受情况，并办理相关的离职结算手续，如工资结算、社保转移等。
员工达到退休年龄但未享受基本养老保险待遇：
- 法律背景与地区差异：
- 部分地区依据《劳动合同法实施条例》第二十一条，认为劳动者达到法定退休年龄时，劳动合同即终止，无论其是否享受基本养老保险待遇。
- 另一部分地区则认为，仅以达到法定退休年龄为由并不能直接终止劳动合同。如果员工未享受基本养老保险待遇，双方劳动关系依然存续。
- 辞退手续与风险：
- 若地区认定劳动关系终止：公司可以依据法律规定终止劳动合同，但应确保员工已了解并同意此安排，同时办理离职结算手续。
- 若地区认定劳动关系继续存在：公司若希望解除劳动合同，必须符合《劳动合同法》规定的合法解除情形，如员工严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等。否则，将构成违法解除，公司需要向员工支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿标准的二倍，具体计算方式依据员工在本单位工作的年限来确定，计算公式为：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2 × 工作年限。其中，经济补偿标准通常为员工离职前十二个月的平均工资。
后续工作安排与建议：
- 若员工希望继续工作：若员工在退休后仍希望在公司继续工作，且公司同意，双方可以协商签订新的劳务合同或其他协议。此时，双方建立的是劳务关系而非劳动关系，相关权利义务将按照劳务合同的约定执行。
- 公司建议：公司在处理员工退休与劳动合同终止的问题时，应充分考虑员工的养老保险待遇情况以及所在地区的司法实践。在劳动关系继续存在的情况下，如需解除劳动合同，务必确保符合法定解除情形，以避免可能的法律风险和经济赔偿。同时，对于退休后希望继续工作的员工，公司可以通过签订劳务合同等方式进行合理安排，并明确双方的权利和义务。
总结：员工到达法定退休年龄后，公司与其之间的劳动合同是否终止及辞退手续如何办理，需根据具体情况和地区司法实践来确定。公司在处理此类问题时，应确保合法合规，并与员工进行充分沟通，以减少不必要的法律风险和经济损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。