基本事实认定错误，当事人确实有权依法申请再审。不过，这一过程需要满足法定条件并遵循相应程序，以下从多个角度为你详细分析：

一、再审申请的法律依据

在民事诉讼中，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，如认为存在错误，可以向上一级人民法院申请再审；在某些情况下（如当事人一方人数众多或双方均为公民），也可以向原审人民法院提出再审申请。这一规定同样适用于判决中认定事实错误的情况。

在刑事诉讼领域，类似的规定也存在于《中华人民共和国刑事诉讼法》中。当事人及其法定代理人、近亲属对已生效的判决、裁定不服，可向法院或检察院提出申诉。若申诉包含新的证据，证明原判决、裁定认定的事实确有错误且可能影响定罪量刑，则法院应当重新审判。

二、再审申请的受理条件

再审申请的受理条件严格且明确，当事人需基于以下情形之一提出申请：

1. 有新的证据足以推翻原判决、裁定的；
2. 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的；
3. 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的；
4. 原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的；
5. 因客观原因无法自行收集关键证据，且已书面申请人民法院调查收集但未被采纳的；
6. 原判决、裁定适用法律确有错误的；
7. 审判组织不合法或应回避的审判人员未回避的；
8. 无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼，或因不可归责于当事人的事由未参加诉讼的；
9. 违反法律规定剥夺当事人辩论权利的；
10. 未经传票传唤即缺席判决的；
11. 原判决、裁定遗漏或超出诉讼请求的；
12. 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更的；
13. 审判人员存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等违法行为的。

若基本事实认定错误属于上述情形之一，当事人便有权提出再审申请。

三、再审申请的注意事项

1. 证据提供：当事人提出再审申请时，需提供充分证据支持其主张，以证明原判决、裁定存在错误。
2. 申请期限：再审申请需在法律规定的期限内提出，通常为判决、裁定发生法律效力后的六个月内。超过此期限，除非有特殊情况，否则再审申请可能不予受理。
3. 再审结果：再审申请并非必然导致再审程序的启动。法院会对申请进行严格审查，仅在符合法定条件时才会决定再审。

四、实际案例与法律建议

实际案例：假设在一起民事合同纠纷案件中，二审法院认定了某个关键事实，但当事人后来发现了新的证据，能够证明该事实认定错误。此时，当事人便可以依据新的证据，向上一级人民法院提出再审申请。

法律建议：

• 及时咨询：在遇到基本事实认定错误的情况时，建议及时向我咨询，以便更好地了解自己的权利和义务。
• 准备证据：积极收集并整理相关证据，以支持自己的再审申请。
• 遵循程序：严格按照法律规定的程序和期限提出再审申请，避免错过时机。

综上所述，基本事实认定错误时，当事人有权依法申请再审，但这一过程需严格遵守法定条件和程序。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。