结论前置：私人公司没与工人签劳动合同，工人是有权向用人单位索赔的，具体索赔方式和金额需根据实际情况来确定。下面我将从多个角度为您详细分析。
一、法律依据与赔偿情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。这是法律对用人单位和劳动者双方权益的基本保障。具体来说：
双倍工资赔偿：
- 如果用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。最多可累计至11个月，即员工在第一年内可能获得总计23个月的工资赔偿（包括正常工资和双倍工资的差额部分）。
- 计算方式：二倍工资的数额按照劳动者当月应得工资为标准计算，包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。计算期间从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，或至满一年之日止（以较早者为准）。
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 如果用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。无固定期限劳动合同意味着双方未约定明确的终止时间，为劳动者提供了更稳定的就业保障。
- 一旦被视为订立此类合同，用人单位若无法定理由，不能随意解除劳动合同，否则需支付赔偿金。
二、维权途径与注意事项
收集证据：
- 工人需要收集能够证明劳动关系存在的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录、同事证言、工作聊天记录等。这些证据在后续的维权过程中将起到关键作用。
维权方式：
- 协商：工人可以尝试与公司进行协商，要求签订书面劳动合同并支付相应的赔偿。
- 投诉举报：若协商无果，工人可以向当地的劳动监察部门投诉举报，请求其介入调查并督促用人单位履行法律责任。
- 申请劳动仲裁：工人还可以选择申请劳动仲裁，通过仲裁程序来维护自己的合法权益。在劳动争议发生之日起一年内，向当地劳动争议仲裁委员会提出书面申请。
- 诉讼途径：对仲裁结果不服的，工人可以向法院提起诉讼，通过司法途径来寻求救济。
仲裁时效：
- 工人需要注意劳动争议申请仲裁的时效为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，工人应及时行动，以免错过维权时机。
三、特殊情况下的赔偿
社保补缴：
- 如果私人公司未按规定为员工缴纳社保，员工有权要求公司补缴。这是劳动者的基本权益之一，确保其在医疗、养老等方面的社会保障。
违法辞退赔偿：
- 如果公司违法辞退员工（如辞退理由不合法、未按照法定程序辞退等），员工有权要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金的计算通常基于员工的工作年限和离职前的工资水平。
总结与建议：私人公司没与工人签劳动合同是违法的，工人有权依法维护自己的合法权益。在维权过程中，工人需要收集证据、选择合适的维权途径，并在时效期内及时行动。如果您或您身边的人遇到了类似的情况，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。