结论：能否直接仲裁公司，取决于您与公司及私人老板之间的法律关系，具体分析如下：
若您与公司存在劳动关系，而公司只是将部分业务外包给私人老板，但您的工作仍受公司管理、指挥，且工资由公司发放：
- 在这种情况下，您与公司之间存在明确的劳动关系。即便公司有外包行为，也不影响您与公司之间的劳动关系认定。
- 根据《劳动争议调解仲裁法》的相关规定，您有权直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司承担相应的劳动责任，如支付工资、加班费、经济补偿等。
若您与私人老板存在雇佣关系，而与公司无直接劳动关系：
- 如果您实际上是受私人老板雇佣，为公司提供劳务，但与公司之间没有签订劳动合同，也不受公司直接管理，工资由私人老板发放，那么您与公司之间可能不存在劳动关系。
- 在这种情况下，您一般不能直接仲裁公司，而应与私人老板协商解决纠纷，或根据具体情况向法院提起诉讼，要求私人老板承担相应的法律责任。
- 不过，也存在特殊情况，比如公司明知私人老板没有用工主体资格而仍将其业务发包，导致您受伤等，根据相关司法解释，公司可能需要承担连带赔偿责任。此时，您虽然名义上是与私人老板发生纠纷，但也可以将公司列为共同被告或被申请人。
法律建议：
- 首先，您需要梳理清楚自己与公司、私人老板之间的法律关系，包括劳动合同签订情况、工资发放情况、工作管理情况等。
- 其次，根据梳理出的法律关系，确定自己的仲裁或诉讼对象。如果与公司存在劳动关系，则直接仲裁公司；如果与私人老板存在雇佣关系，则考虑与私人老板协商或诉讼，并在特定情况下考虑将公司列为共同被告或被申请人。
- 最后，在仲裁或诉讼过程中，注意收集并保存相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以证明自己的主张。
可能后果：
- 如果您错误地选择了仲裁或诉讼对象，可能会导致仲裁请求或诉讼请求被驳回，从而浪费时间和精力。
- 如果您能够正确选择仲裁或诉讼对象，并提供了充分的证据支持自己的主张，那么您有可能获得相应的赔偿或补偿。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。