结论前置：不可以。在对方已经支付全款的情况下，您无权仅因对方未签合同而不让其开走车辆或拒绝退还钱款。以下从法律角度为您详细分析：
一、合同成立与生效的法律原则
合同成立：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同成立通常需要双方意思表示一致，即要约与承诺。在车辆买卖交易中，您提出卖车（要约），对方同意购买并支付全款（承诺），此时合同已经成立。合同的形式可以是书面的，也可以是口头的，甚至可以通过行为来推断。因此，即使双方没有签订书面合同，只要双方意思表示一致，合同依然成立。
合同生效：合同生效是指合同具备法律效力，对双方产生约束力。在车辆买卖合同中，一旦合同成立且没有违反法律、行政法规的强制性规定，合同即生效。对方支付全款的行为，可以视为其已经履行了合同的主要义务，您也有义务按照合同约定交付车辆。
二、您的行为可能涉及的法律后果
违约责任：如果您在对方支付全款后，仅因对方未签合同而不让其开走车辆或拒绝退还钱款，这可能构成违约行为。根据《民法典》的规定，违约方需要承担违约责任，包括继续履行合同、赔偿损失等。在这种情况下，您可能需要承担对方因此产生的额外费用，如交通费、住宿费等，甚至可能需要支付违约金。
不当得利：如果您拒绝退还对方已经支付的全款，这还可能构成不当得利。不当得利是指一方在没有合法依据的情况下获得利益，而另一方因此遭受损失。在这种情况下，对方有权要求您返还已经支付的钱款。
三、建议与解决方案
协商签订合同：尽管合同已经成立，但为了保障双方的权益，建议您与对方协商签订书面合同。书面合同可以明确双方的权利和义务，避免未来可能出现的纠纷。在签订合同时，您可以要求对方确认已经支付全款，并明确车辆交付的时间、地点等细节。
履行合同义务：在合同成立且生效的情况下，您应当履行自己的合同义务，即交付车辆。如果对方拒绝签订书面合同，但这并不影响合同的成立和生效，您仍然有权要求对方按照口头约定或行为推断的合同内容履行义务。同时，您也可以考虑通过录音、录像等方式留下证据，以证明双方已经就车辆买卖达成一致意见。
寻求法律帮助：如果您在交易过程中遇到任何问题或纠纷，建议及时寻求法律帮助。作为专业律师，我可以为您提供合同纠纷方面的法律咨询和诉讼服务，帮助您维护自己的合法权益。
最后，希望您能够妥善处理这次车辆买卖交易，避免不必要的纠纷和损失。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。