结论：公司是否有责任，取决于具体情况。即使没有走工伤认定程序且未辞职，在符合一定条件下，公司仍可能需承担相应责任。以下从不同情况为你详细分析：

若符合工伤认定条件但未申请认定

1. 公司责任：根据《工伤保险条例》规定，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。如果公司未在规定时间内提出工伤认定申请，在此期间发生符合本条例规定的工伤待遇等有关费用由该用人单位负担。例如，员工在工作过程中受伤，公司没有及时为其申请工伤认定，那么在申请工伤认定前的医疗费、停工留薪期工资等费用，公司可能需要承担。
2. 员工权利：用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。所以，即使公司没有申请，员工自己或其近亲属、工会组织也可以在规定时间内申请，以保障自身权益。

若不符合工伤认定条件

1. 公司一般无工伤相关责任：如果员工所受伤害不符合工伤认定的条件，比如是在工作时间外因个人原因受伤，那么公司通常不需要承担工伤赔偿责任。例如，员工在下班后，在公司外与他人发生冲突受伤，这种情况一般不属于工伤，公司无需承担工伤方面的责任。
2. 可能存在其他责任：不过，如果公司存在过错，导致员工受伤，公司可能需要承担其他法律责任。比如，公司的设施存在安全隐患，没有及时维修，导致员工在使用过程中受伤，此时公司可能需要承担民事侵权责任，根据《民法典》中关于侵权责任的规定，赔偿员工的医疗费、误工费等损失。

若公司未依法为员工缴纳工伤保险

1. 公司承担全部工伤待遇：根据《工伤保险条例》第六十二条规定，依照本条例规定应当参加工伤保险而未参加工伤保险的用人单位职工发生工伤的，由该用人单位按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。也就是说，即使没有走工伤认定程序（但实际符合工伤条件），公司未缴纳工伤保险，员工发生工伤后，公司要承担本应由工伤保险基金支付的所有工伤待遇，如一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金等。
2. 可能面临行政处罚：公司未依法为员工缴纳工伤保险，还可能面临社会保险行政部门的处罚，如责令限期缴纳，并自欠缴之日起，按日加收万分之五的滞纳金；逾期仍不缴纳的，由有关行政部门处欠缴数额一倍以上三倍以下的罚款。

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