基本事实认定错误，当事人确实有权依法申请再审，但需满足法定条件并遵循相应程序。以下是对此问题的详细解答：
一、申请再审的法律依据
在民事诉讼中，根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，如认为存在错误，可以向上一级人民法院申请再审；在某些情况下（如当事人一方人数众多或双方均为公民），也可以向原审人民法院提出再审申请。这一规定同样适用于判决中基本事实认定错误的情况。
二、申请再审的条件
具体来说，当事人需基于以下与基本事实认定错误相关的情形之一提出再审申请：
原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的：即原判决、裁定所依据的主要事实没有充分的证据支持，这直接关联到基本事实认定错误的问题。
有新的证据足以推翻原判决、裁定的：虽然这一点不直接等同于基本事实认定错误，但如果新证据能够证明原判决中的基本事实认定有误，那么这也构成了申请再审的有效理由。
除了上述两点，还有其他一些情形也可能与基本事实认定错误间接相关，如原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的、未经质证的等。
三、申请再审的程序
提交申请书：当事人应向有管辖权的人民法院提交再审申请书，并附相关证据材料，以证明原判决中的基本事实认定存在错误。
法院审查：法院会对申请进行审查，重点审查原判决中的基本事实认定是否确实存在错误，以及是否符合其他再审条件。符合再审条件的，法院会裁定再审；不符合条件的，法院会驳回申请。
再审审理：如果法院裁定再审，会按照法定程序重新审理案件，对原判决中的基本事实认定进行重新审查和认定。
四、注意事项
申请期限：当事人申请再审应在判决、裁定发生法律效力后一定期限内提出（通常为六个月内），逾期可能丧失申请再审的权利。因此，当事人应及时行使自己的权利，避免错过申请期限。
提供证据：申请再审时，当事人应提供充分的证据支持自己的主张，特别是要提供能够证明原判决中基本事实认定错误的证据。否则，可能面临申请被驳回的风险。
遵守程序：申请再审应严格遵守法律规定的程序和要求，确保申请的合法性和有效性。例如，再审申请书应明确、具体地阐述再审理由和请求，附上的证据材料应真实、合法、有效。
五、实际案例与法律后果
在实际案例中，因基本事实认定错误而成功申请再审的情况并不少见。例如，在某些合同纠纷案件中，如果原判决对合同的主要条款或履行情况等基本事实认定错误，导致判决结果显失公正，那么当事人就有权依法申请再审。一旦再审成功，原判决可能会被撤销或改判，从而维护当事人的合法权益。
基本事实认定错误是申请再审的有效理由之一。但申请再审并非易事，需要满足法定条件并遵循相应程序。因此，如果你遇到类似情况，建议及时向我咨询，以便更好地了解自己的权利和义务，并采取适当的法律措施来维护自己的合法权益。