结论：是否可以开除驾驶员需根据具体情况判断，一般不能直接开除；处理方式包括及时救治伤者、报告相关部门、配合调查、协商赔偿及依法处理劳动关系等。以下是详细分析：
关于是否可以开除驾驶员
- 若驾驶员存在故意或重大过失：如果驾驶员是故意撞伤他人，或者存在重大过失（如严重违反操作规程、酒后驾车等），且这种行为严重违反了公司的规章制度，给公司造成了重大损害，根据《劳动合同法》第三十九条的规定，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但公司需要有充分的证据证明驾驶员存在故意或重大过失，以及该行为严重违反规章制度和造成重大损害的事实。
- 若驾驶员是一般过失：如果驾驶员只是一般过失导致撞伤他人，不属于严重违反公司规章制度或给公司造成重大损害的情形，公司不能直接开除驾驶员。否则，可能构成违法解除劳动合同，需要按照经济补偿标准的二倍向驾驶员支付赔偿金。
关于事故的处理方式
- 及时救治伤者：事故发生后，首要任务是立即将伤者送往医院进行救治，确保伤者的生命安全和健康。这是基于人道主义和法律的要求，如果因未及时救治导致伤者伤情加重，可能会承担相应的法律责任。
- 报告相关部门：按照规定，矿山企业发生生产安全事故后，应当及时向当地安全生产监督管理部门和其他有关部门报告。这是企业的法定义务，有助于相关部门及时介入调查，采取措施防止事故扩大，并查明事故原因和责任。
- 配合调查：积极配合安全生产监督管理部门和其他有关部门的调查工作，提供相关的资料和信息，如实陈述事故发生的经过和原因。不得隐瞒、谎报或者拖延不报，否则可能会面临行政处罚。
- 协商赔偿：对于伤者的损失，矿山企业应当承担相应的赔偿责任。可以与伤者或其家属进行协商，就赔偿金额、赔偿方式等达成一致意见，并签订赔偿协议。如果协商不成，伤者或其家属可以通过法律途径解决，如向法院提起诉讼。
- 依法处理劳动关系：根据事故的调查结果和驾驶员的过错程度，按照法律法规和公司规章制度的规定，依法处理与驾驶员的劳动关系。如果需要解除劳动合同，应当按照法定程序进行，并支付相应的经济补偿或赔偿金。