当员工强烈要求续签劳动合同时，公司应当依据相关法律法规进行妥善处理。以下是一些详细的建议和步骤，供您参考：
一、了解法律法规
首先，公司需要明确《中华人民共和国劳动合同法》中关于续签劳动合同的相关规定。特别是第十四条第二款，它指出：劳动者在用人单位连续工作满10年或连续订立2次固定期限劳动合同后，若劳动者提出续订劳动合同，除非劳动者提出订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
二、评估员工情况
- 工作年限：检查员工是否已在公司连续工作满10年。
- 合同次数：确认员工是否已与公司连续订立了2次固定期限劳动合同。
- 员工表现：评估员工的工作表现、能力以及是否符合公司未来的发展需求。
三、与员工沟通
- 表达意愿：如果公司愿意续签劳动合同，应与员工明确沟通续签的意愿，并讨论续签的具体条款，如合同期限、薪资待遇等。
- 解释原因：如果公司因某些原因（如业务调整、员工表现不佳等）不愿续签，应向员工解释具体原因，并尽量提供合理的解决方案，如支付经济补偿等。
四、处理续签事宜
同意续签：
- 若公司同意续签，且员工符合订立无固定期限劳动合同的条件，则应与员工订立无固定期限劳动合同。
- 若员工提出订立固定期限劳动合同，且公司同意，则可订立固定期限劳动合同。
不同意续签：
- 若公司不同意续签，且员工符合订立无固定期限劳动合同的条件，则公司的行为可能构成违法终止劳动合同，需要依法支付赔偿金。
- 赔偿金的计算通常依据员工在公司的工作年限和平均工资来确定。
五、遵循法律程序
- 书面通知：无论公司是否同意续签，都应向员工发出书面通知，明确表达公司的决定和理由。
- 办理手续：如果公司同意续签，应尽快与员工办理续签手续，包括签订新的劳动合同、更新员工档案等。
- 支付补偿：如果公司不同意续签且需要支付经济补偿或赔偿金，应按照法律规定及时支付。
六、预防纠纷
- 完善制度：公司应完善劳动合同管理制度，明确续签劳动合同的流程和标准，减少因管理不善而引发的纠纷。
- 加强沟通：在劳动合同到期前，公司应与员工进行充分沟通，了解员工的续签意愿和期望，以便提前做好准备。
七、案例参考
以海口市中级人民法院审理的某起劳动纠纷为例，老员工在岗位上勤勤恳恳工作多年，合同期满后想续签却被公司解约。法院最终判决公司支付违法解除劳动关系赔偿金26万余元。这一案例提醒公司，在处理员工续签问题时，必须严格遵守法律法规，否则可能面临严重的法律后果。
综上所述，当员工强烈要求续签劳动合同时，公司应依据相关法律法规进行妥善处理，确保员工的合法权益得到保障，同时维护公司的合法权益和声誉。