当遇到员工不愿意签署续签合同通知书的情况时，作为用人单位，我们需要谨慎且依法处理这一问题。以下是我为您提供的详细步骤和建议：

一、首要任务：深入沟通与了解原因

1. 主动沟通：首先，我们应该主动与员工进行沟通，了解他们不愿意签署续签合同的具体原因。这可能是因为他们对合同条款有疑问，或者对公司的不续签决定有异议。
2. 明确立场：在沟通过程中，我们需要明确告知员工公司的立场和决定理由，以及不续签合同可能带来的法律后果。这有助于员工更全面地了解情况，做出合理的决策。

二、详细解释通知书内容

1. 耐心解释：如果员工对通知书中的条款有疑问，我们应该耐心、详细地解释，特别是关于合同不续签的原因、经济补偿的计算方式和法律依据。
2. 强调法律后果：我们需要向员工强调《劳动合同法》中关于经济补偿的规定，即除特定情形外，终止固定期限劳动合同时，用人单位需支付经济补偿。这有助于员工了解自己的权益，减少不必要的纠纷。

三、书面记录与送达确认

1. 做好书面记录：对于沟通过程，我们应该做好书面记录，包括时间、地点、参与人员等详细信息。这有助于在后续纠纷中提供证据。
2. 确认送达：如果员工拒绝签署通知书，我们可以通过电子邮件、短信或其他书面形式向其发送正式通知，并要求其确认收到。同时，保留好发送凭证，以备不时之需。

四、依法办理离职手续

1. 提前准备：无论员工是否签署通知书，我们都应在劳动合同到期前按照既定决定，为员工办理好工作交接、工资结算、出具离职证明等手续。
2. 确保合规：在办理离职手续时，我们需要确保所有手续都符合法律要求，避免后续纠纷。例如，离职证明应包含员工的个人信息、离职原因、离职时间等关键信息。

五、准备法律文件与证据

1. 整理文件：在整个过程中，我们需要准备好所有相关的法律文件和证据，如劳动合同、不续签合同通知书、离职证明、沟通记录等。
2. 保留证据：这些文件和证据在后续可能出现的纠纷中至关重要，因此我们需要妥善保管，确保在需要时能够迅速提供。

六、寻求专业法律援助

1. 及时咨询：如果员工对公司的决定提出异议或拒绝配合办理离职手续，导致纠纷产生，我们应及时咨询专业律师。
2. 积极应对：根据律师的建议，我们可以准备相关证据材料，积极应对可能的劳动仲裁或诉讼。这有助于我们维护自身合法权益，减少不必要的损失。

总之，在处理员工不愿意签署续签合同通知书的问题时，我们需要保持冷静、专业，并严格按照法律规定和公司规章制度来操作。通过深入沟通、详细解释、书面记录、依法办理离职手续以及准备充分的法律文件和证据，我们可以有效地减少不必要的误会和冲突，并确保自身合法权益得到维护。