当宠物在店家寄卖（这里我们理解为寄养，因为通常宠物店不提供“寄卖”服务，而是寄养服务）期间死亡，处理这种情况主要依赖于双方之间的合同关系以及相关法律法规。以下是一个详细且深入的处理流程和建议：
一、合同关系确认
首先，需要确认您与宠物店之间是否存在有效的寄养合同。这通常包括您将宠物交付给宠物店时双方达成的口头或书面协议，以及您支付的寄养费用等证据。合同是双方权利义务的基础，也是后续处理纠纷的重要依据。
二、责任认定
宠物店的责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果宠物在寄养期间因宠物店保管不善（如未提供合适的环境、饮食，或未及时救治生病的宠物等）导致死亡，宠物店应当承担相应的损害赔偿责任。
- 宠物店作为保管人，有义务确保宠物的安全与健康，若因疏忽或故意行为导致宠物死亡，应依法赔偿。
您的责任：
- 作为宠物的主人，您也有责任向宠物店提供宠物的健康状况、特殊习性和注意事项等信息，以便宠物店能够更好地照顾宠物。
- 如果您未如实告知宠物店宠物的健康状况或特殊需求，且这导致了宠物的死亡，您可能也需要承担一定的责任。
三、处理流程
与宠物店协商：
- 一旦发现宠物死亡，应立即与宠物店联系，了解死亡原因，并要求宠物店给出合理的解释和赔偿方案。
- 如果宠物店承认责任并愿意赔偿，双方可以协商确定赔偿金额和方式。
收集证据：
- 如果宠物店拒绝赔偿或双方对责任认定存在争议，您应收集相关证据，如寄养合同、支付凭证、宠物死亡证明、与宠物店的沟通记录等。
- 这些证据将有助于您在后续的法律程序中维护自己的权益。
寻求法律帮助：
- 如果协商无果，您可以考虑寻求法律帮助，如咨询律师或向消费者协会投诉。
- 律师可以根据您提供的证据和法律法规，为您制定合适的维权策略，并代表您与宠物店进行谈判或提起诉讼。
提起诉讼：
- 如果必要，您可以向法院提起诉讼，要求宠物店承担损害赔偿责任。
- 法院将根据双方提供的证据和法律法规，对案件进行审理并作出判决。
四、预防措施
为了避免类似纠纷的发生，建议您在寄养宠物时采取以下预防措施：
- 选择具有相应资质、信誉良好的寄养机构。
- 与寄养机构签订书面寄养协议，明确约定双方的权利义务及违约责任。
- 告知寄养机构宠物的特殊习性和注意事项，以便寄养机构能够更好地照顾宠物。
- 定期与寄养机构沟通，了解宠物的健康状况和生活情况。
总之，当宠物在店家寄养期间死亡时，您应首先与宠物店协商解决；如果协商无果，可以收集证据并寻求法律帮助；必要时，可以向法院提起诉讼以维护自己的权益。同时，为了预防类似纠纷的发生，建议您在寄养宠物时采取必要的预防措施。