结论前置：针对您上班半年员工没提签合同，公司也没有签合同的情况，您有权要求公司签订书面劳动合同，并可根据法律规定主张双倍工资差额。同时，您还可以通过与公司协商、向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁乃至提起诉讼等途径来维护自己的合法权益。

详细分析：

1. 法律基础与用人单位责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位应在用工之日起一个月内与劳动者签订书面劳动合同。若工作半年仍未签订，用人单位已违反法律规定，您有权要求公司立即签订书面劳动合同。

2. 双倍工资差额的主张：

   • 依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，您有权要求公司支付从第二个月起至第六个月的双倍工资差额。具体计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × 5个月（假设您每月工资固定且无其他变动）。

3. 证据收集的重要性：

   • 为证明您与公司的劳动关系，您应提前收集并保存相关证据，包括但不限于：
     • 工资支付凭证或记录（如银行工资流水账单）；
     • 工作证、服务证等身份证明文件；
     • 考勤记录（纸质或电子形式）；
     • 工作记录（如工作日志、任务分配单等）；
     • 与公司同事、上级的聊天记录、电子邮件等沟通记录。

4. 与公司协商沟通：

   • 在采取进一步行动前，建议您首先与公司的人力资源部门或直接上级进行沟通，明确提出签订劳动合同的要求，并指出不签订劳动合同的违法性。协商过程中，务必保留好相关的聊天记录、邮件往来等证据，以备后续维权之需。

5. 向劳动监察部门投诉：

   • 若与公司协商无果，您可向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门将介入调查，并根据调查结果对用人单位进行相应处理，包括责令改正和处罚等。

6. 劳动仲裁与诉讼：

   • 如对劳动监察部门的处理结果不满意，或公司仍拒绝履行合同义务，您可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁申请书需附有相关证据材料，仲裁委员会将依法进行裁决。
   • 若对仲裁结果不服，您可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您应积极提供证据，遵循法院程序和要求，以维护自己的合法权益。

后续行动建议：

• 在采取任何行动前，确保您已充分收集并保存了所有相关证据。
• 在与公司协商或投诉、仲裁过程中，保持冷静和理性，清晰表达自己的诉求和依据。
• 如对法律程序不熟悉或感到困惑，可随时向我咨询，我将为您提供专业的法律指导和帮助。

总结：面对公司未与您签订劳动合同的情况，您应积极采取行动保护自己的权益。通过收集证据、与公司协商、主张双倍工资差额、向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁乃至提起诉讼等途径，您可以依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。