公司解除劳动关系后没第一时间给赔偿，您有权要求公司立即支付，并可以通过法律途径维护自己的合法权益。以下是从不同角度为您详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者解除或终止劳动合同时，应当依法支付经济补偿。如果公司未按时支付，劳动者有权要求公司立即支付，并可以依法向劳动行政部门投诉，或者申请劳动仲裁。
二、具体法律建议
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司进行协商，要求公司立即支付应得的赔偿。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和依据。
向劳动行政部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动行政部门（如劳动监察大队）投诉。投诉时，需要提供相关证据，如劳动合同、解除劳动关系的通知、未支付赔偿的证明等。劳动行政部门会依法进行调查，并责令公司限期支付。
申请劳动仲裁：
- 如果投诉后公司仍未支付，您可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请仲裁时，需要提交仲裁申请书、相关证据材料等。仲裁委员会会依法进行审理，并作出裁决。如果公司不履行裁决，您还可以向人民法院申请强制执行。
三、可能面临的法律后果
公司需支付赔偿及可能的经济补偿：
- 如果公司被认定违法解除劳动关系，除了需要支付应得的赔偿外，还可能需要支付额外的经济补偿。具体金额根据您的工龄、工资等因素确定。
公司可能面临行政处罚：
- 如果公司未按时支付赔偿，劳动行政部门有权对公司进行行政处罚，如罚款、责令改正等。
影响公司信誉：
- 违法解除劳动关系且未按时支付赔偿的行为，可能对公司的信誉造成负面影响，影响公司的业务发展和市场竞争力。
四、实际操作中的注意事项
保留证据：
- 在整个过程中，务必保留好相关证据，如劳动合同、解除劳动关系的通知、工资单、未支付赔偿的证明等。这些证据将对您维护自己的合法权益至关重要。
及时行动：
- 发现公司未按时支付赔偿后，应尽快采取行动，避免超过法律规定的时效期限。一般来说，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。
寻求专业帮助：
- 如果您在处理过程中遇到困难或疑问，可以随时向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供有针对性的法律建议和帮助。
总结来说，公司解除劳动关系后没第一时间给赔偿是违法的行为，您有权要求公司立即支付，并可以通过协商、投诉或申请劳动仲裁等法律途径来维护自己的合法权益。在整个过程中，请务必保留好相关证据，并及时行动。如有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。