结论：涉嫌犯罪刑拘的当天，一般不能直接辞退公职人员，但具体还需根据公职人员的身份、涉嫌犯罪的性质以及相关法律法规的规定来综合判断。

分析说明：

1. 公职人员身份与辞退程序：

   • 公职人员，如公务员、事业单位工作人员等，其辞退通常受到严格的法律法规约束。辞退公职人员并非随意行为，而是需要遵循一定的程序和条件。
   • 一般情况下，辞退公职人员需要基于明确的违法违纪事实，并经过相应的调查、审查程序，确保辞退决定的合法性和合理性。

2. 刑拘的性质与影响：

   • 刑拘是刑事诉讼中的一种强制措施，用于确保犯罪嫌疑人或被告人在诉讼过程中的到案和配合调查。刑拘本身并不等同于定罪，只是表明涉嫌犯罪的可能性。
   • 刑拘当天，公职人员的犯罪事实尚未经过法院审判确认，因此不能仅凭刑拘就直接作出辞退决定。

3. 相关法律法规的规定：

   • 根据《中华人民共和国公务员法》等相关法律法规，公务员因涉嫌违法违纪正在接受调查的，不得辞退。这是为了保护公务员的合法权益，防止因不当辞退而损害其名誉和利益。
   • 对于其他公职人员，如事业单位工作人员等，也有类似的保护性规定，确保其在涉嫌犯罪期间不被随意辞退。

4. 特殊情况下的辞退：

   • 如果公职人员涉嫌的犯罪性质严重，如贪污、受贿、滥用职权等，且证据确凿，可能构成辞退的法定理由。但即便如此，也需要经过严格的调查、审查程序，并确保辞退决定的合法性和合理性。
   • 在某些特殊情况下，如公职人员涉嫌严重危害国家安全或社会公共利益的犯罪，可能根据相关法律法规的规定，采取更为迅速的处置措施，但这并不意味着可以随意辞退。

法律建议：

• 对于涉嫌犯罪的公职人员，其所在单位或相关部门应依法进行调查和审查，确保辞退决定的合法性和合理性。
• 公职人员在面临刑拘等强制措施时，应积极配合调查，同时寻求法律援助，保护自己的合法权益。
• 如果公职人员对辞退决定有异议，可以依法申请复核或提起诉讼，维护自己的合法权益。

后续行动指南：

• 如果您是涉嫌犯罪的公职人员或其家属，建议尽快咨询专业律师，了解具体的法律程序和权利义务。
• 如果您是公职人员所在单位或相关部门的工作人员，建议依法进行调查和审查，确保辞退决定的合法性和合理性，并妥善处理相关事宜。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。