如果法院判决被告在公共场所公开向原告赔偿道歉，但被告不履行，原告可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
申请法院强制执行：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当一方当事人不履行生效法律文书确定的义务时，另一方当事人有权向法院申请强制执行。在此情况下，原告可以向作出判决的法院提交强制执行申请书，要求法院强制被告履行公开道歉的义务。
- 法院在受理强制执行申请后，会依法对被告进行执行。如果被告仍然拒不履行，法院可以采取一系列强制措施，如罚款、拘留等，甚至可能将被告纳入失信被执行人名单，对其信用记录产生严重影响。
要求法院以公告形式登载判决内容：
- 如果被告拒绝在公共场所公开道歉，原告还可以请求法院以公告形式登载判决的主要内容，费用由被告承担。这种方式可以在一定程度上达到公开道歉的效果，因为公告具有公开性和传播性，能够让更多人了解到判决结果和被告的侵权行为。
考虑其他法律救济途径：
- 除了上述两种方式外，原告还可以根据具体情况考虑其他法律救济途径。例如，如果被告的侵权行为给原告造成了经济损失或精神损害，原告还可以在提起名誉权侵权诉讼的同时，要求被告赔偿相应的损失。
- 如果被告的行为构成犯罪（如侮辱罪、诽谤罪等），原告还可以向公安机关报案，要求追究被告的刑事责任。
在采取上述措施时，原告需要注意以下几点：
- 保留好相关证据：包括法院的判决书、被告不履行的证据（如录音、录像、证人证言等）以及因被告侵权行为造成的损失证据等。这些证据在申请强制执行或要求赔偿时将起到关键作用。
- 及时与法院沟通：在申请强制执行或要求法院以公告形式登载判决内容时，原告需要及时与法院沟通，了解执行进展或公告发布情况，并根据法院的要求提供必要的协助和配合。
- 考虑实际效果：在采取法律措施时，原告需要考虑实际效果和成本效益。例如，如果被告确实没有履行能力或公开道歉对其影响不大，那么原告可能需要权衡是否继续追究其责任或采取其他更合适的救济方式。
最后，我建议原告在遇到此类情况时保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果原告在处理过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为原告提供专业的法律建议和支持。