结论：当法院判决公开赔礼道歉而对方不履行时，您可以通过法律途径强制对方履行，对方还可能面临支付迟延履行金、信用惩戒甚至刑事责任等法律后果。
一、强制执行措施
公告、登报等方式公开道歉：
- 根据《最高人民法院关于审理利用信息网络侵害人身权益民事纠纷案件适用法律若干问题的规定》第十六条，以及《中华人民共和国民法典》第一千条的相关规定，人民法院可以采取在报刊、网络等媒体上发布公告或者公布生效裁判文书等方式，强制被执行人履行公开道歉的义务。
- 这种方式旨在确保公开道歉的社会效果得以实现，所需费用由被执行人承担。
其他强制执行手段：
- 法院还可以对被执行人的财产进行查封、扣押、拍卖等，以迫使其履行义务。
- 在某些情况下，法院还可以对被执行人采取限制出境、在征信系统记录等措施，进一步加大其违法成本。
二、支付迟延履行金
- 如果被执行人未按判决指定的期间履行非金钱给付义务（如公开道歉），应当支付迟延履行金。
- 迟延履行金的计算方式可能因地区而异，但通常与未履行期间和一定的利率或标准挂钩，具体由法院根据案件情况确定。
三、信用惩戒
纳入失信被执行人名单：
- 被执行人有能力履行而拒不履行法院判决的，可能会被纳入失信被执行人名单。
- 这将对被执行人的信用记录产生严重影响，限制其高消费、贷款、担任企业高管等行为。
社会信用体系影响：
- 拒不执行判决的行为还会破坏社会诚信体系，影响被执行人在社会经济活动中的声誉和信誉。
四、刑事责任风险
- 在极端情况下，如果被执行人拒不执行法院判决的行为构成犯罪（如拒不执行判决、裁定罪），则可能面临刑事追责。
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
五、实际案例与影响
- 在某些名誉权纠纷案件中，被告因侵犯原告名誉权被判决公开道歉，但拒不执行。法院随后采取了强制执行措施，在相关媒体上刊登了判决书内容和道歉声明，并要求被告支付了迟延履行金和诉讼费用。
- 这些案例表明，法院对于维护法律权威和当事人合法权益的决心是坚定的，同时也彰显了公开道歉判决的法律效力和执行力。
六、建议与行动
- 及时申请强制执行：如果对方拒不履行公开道歉的判决，您应及时向法院申请强制执行，以维护自己的合法权益。
- 保留证据：在申请强制执行前，您应保留好相关证据，如判决书、执行申请书等，以便在执行过程中提供给法院。
- 咨询专业律师：虽然我在这里为您提供了一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在处理此类问题时，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律指导。不过，您现在就可以直接向我咨询，我会尽我所能为您提供帮助。
总之，当法院判决公开赔礼道歉而对方不履行时，您有多种法律途径可供选择来维护自己的权益。希望这些信息能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。