当判决要求赔礼道歉而被告拒绝履行时，法院有多种措施和途径来确保判决的执行，以维护法律的权威和原告的合法权益。以下是从不同角度为你详细分析的应对策略：
一、法院可采取的强制执行措施
公告或登报执行：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千条的规定，若被告拒不承担赔礼道歉的民事责任，法院可以选择在报刊、网络等媒体上发布公告或者公布生效裁判文书等方式执行，产生的费用由被告承担。这一措施旨在通过公开方式强制被告道歉，恢复原告名誉，消除不良影响。
委托执行：
- 法院有权委托有关单位或个人代为完成赔礼道歉的行为，相关费用同样由被告承担。这种方式可以确保赔礼道歉的行为得到实际履行，尽管不是由被告亲自完成。
其他公开方式：
- 法院还可以采取其他公开方式，如在当地发行量较大的报纸上刊登判决书相关内容，以达到与被执行人亲自赔礼道歉相近的公开效果。
二、经济制裁措施
支付迟延履行金：
- 被告未按判决指定的期间履行非金钱给付义务（如赔礼道歉）的，应当支付迟延履行金。这可以视为对被告拒绝履行判决的一种经济惩罚，增加其违法成本。
申请精神损害赔偿：
- 若被告拒绝履行赔礼道歉义务，给原告造成了进一步的精神损害，原告可以另行起诉要求精神损害赔偿。法院会根据案件具体情况判定赔偿数额，以弥补原告因被告行为所遭受的精神损失。
三、法律处罚措施
罚款或拘留：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，对于拒不履行判决的当事人，法院有权根据情节轻重予以罚款、拘留。对个人的罚款金额最高可达人民币十万元；对单位的罚款金额则为人民币五万元以上一百万元以下。拘留期限最长为十五日。这些措施可以形成对被告的有效威慑，促使其履行判决。
追究刑事责任：
- 在极端情况下，如果被告的行为构成拒不执行判决、裁定罪，根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定，可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者罚金的处罚；情节特别严重的，甚至可能被判处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。这是最严厉的法律处罚措施，适用于情节特别严重的拒不执行判决行为。
四、其他辅助措施
限制出境：
- 法院可以对拒不执行法律文书的被告采取限制出境的措施，防止其逃避执行。这一措施可以确保被告在国内接受法律的制裁和履行判决的义务。
征信记录：
- 将被告的不履行行为记录在征信系统中，影响其信用评级。这可以加大被告在社会和经济活动中的难度，形成对其的有效约束。
建议：在面对判决要求赔礼道歉而被告拒绝履行的情况时，原告应积极配合法院的执行工作，及时向法院提供被告的相关信息和线索，以便法院采取有效的执行措施。同时，原告也可以咨询专业律师，了解自己的合法权益和可行的维权途径，以更好地维护自己的利益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。