面对法院判决对方道歉但对方不履行的情况，您可以按照以下步骤来处理，以确保您的合法权益得到维护：
一、提交强制执行申请
首先，您应当向法院提交强制执行申请。根据现行法律法规，任何一方都需严格遵守具有法律约束力的民事判决、裁定以及调解书等，这些都属于人民法院需要执行的法律文书范畴。若对方未能履行其义务，您有权向人民法院提交执行申请，要求法院强制对方履行道歉义务。
二、法院对被执行人的财产与行为调查
法院在收到您的强制执行申请后，会依照法定程序对被执行人名下的财产状况进行全面调查，这包括但不限于房产、车辆、证券以及银行存款等。同时，法院也会关注被执行人的行为表现，看其是否有履行道歉义务的意愿和行动。
三、法院采取的强制措施
若被执行人仍拒绝履行法院的生效判决，法院将采取一系列强有力的措施以促使其履行：
财产冻结与扣划：法院有权冻结被执行人的银行账户、理财产品、股票等金融资产，并视情况扣划或变现以清偿债务（在此类案件中，虽不直接涉及金钱清偿，但冻结等措施可形成压力）。
纳入失信被执行人名单：被执行人若具备履行能力却拒不履行义务，将被纳入失信被执行人名单，并通过多种渠道向社会公布。这将严重损害被执行人的信用记录，影响其在金融信贷、市场准入等方面的活动。
限制高消费行为：法院将对被执行人发出限制高消费令，禁止其进行一系列高消费及非生活和工作必需的消费行为，如乘坐飞机头等舱、在星级宾馆消费等。
住所搜查与财产追回（虽不直接针对道歉，但为全面执行措施之一）：若法院有合理理由怀疑被执行人隐匿财产，可对其住所进行搜查，搜出的有价值物品将用于评估、拍卖以偿还债务（或形成履行压力）。
限制出境措施：法院可对被执行人采取限制出境措施，阻止其离开本国国境，这对经常需要出国或有移民倾向的被执行人有显著威慑力。
四、追究刑事责任
若被执行人有能力执行而拒不执行，且情节严重，将构成拒不执行判决、裁定罪。根据《刑法》第三百一十三条，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。单位犯此罪的，还将对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员依法处罚。
五、赔礼道歉执行的特殊性
需要注意的是，赔礼道歉的执行过程中存在一些困难之处，主要原因在于被执行人可能并不愿意真心实意地表达歉意。在司法实践中，如果被告在庭审现场公开表示歉意，并且原告对此予以接受，那么法院通常会认定赔礼道歉的责任已经得到了妥善解决。但如果被告仍然拒绝履行赔礼道歉的义务，或者其所表达的歉意未得到原告的认可，那么您可以再次向法院提出强制执行申请。
综上所述，面对法院判决对方道歉但对方不履行的情况，您应当积极向法院提交强制执行申请，并依靠法院采取的一系列强制措施来促使对方履行义务。同时，也要理解赔礼道歉执行的特殊性，做好长期应对的准备。