如果法院已经要求某方公开道歉，但该方拒不执行，这将会引发一系列严重的法律后果。以下是对此问题的详细解答：
一、法律后果概述
强制执行措施：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，对于拒不履行法院判决的当事人，法院有权采取强制执行措施。这可能包括在媒体上刊登判决书内容、公告道歉声明等，相关费用将由被执行人承担。
- 法院还有权对被执行人的财产进行查封、扣押、拍卖等，以迫使其履行义务。
支付迟延履行金：
- 如果被执行人未按判决指定的期间履行非金钱给付义务（如公开道歉），则应当支付迟延履行金。迟延履行金的计算方式和金额将由法院根据具体情况确定。
信用惩戒：
- 被执行人的失信行为将被记录在个人或企业的信用档案中，这可能影响其未来的贷款、招投标、市场准入等经济活动。
- 在某些情况下，被执行人还可能被列入“失信被执行人名单”，受到更广泛的信用惩戒。
刑事责任：
- 如果被执行人有能力执行而拒不执行法院判决，且情节严重，可能构成拒不执行判决、裁定罪。根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定，可处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
二、具体处理步骤
提出强制执行申请：
- 如果对方无视法院要求公开道歉的裁决，您应首先向法院提出强制执行申请。这是依据现行法律法规，任何一方均需严格遵守具有法律约束力的民事判决、裁定以及调解书等，这些都属于人民法院需要执行的法律文书范畴。
法院调查与执行：
- 法院在收到强制执行申请后，将依照法定程序对被申请人名下的财产状况进行全面调查，如房产、车辆、证券以及银行存款等。
- 如果被执行人仍拒绝履行法院的生效判决，法院将采取进一步的强制执行措施。
关注信用与出行限制：
- 被执行人可能因拒不执行判决而被记入个人信用报告中的逾期还款等不良信息，同时还可能面临高消费及出入境的限制。
考虑刑事责任：
- 在某些特殊情形下，如果被执行人具备履行能力却故意拒绝执行法院判决，且情节严重，可能遭受司法拘留，甚至被追究刑事责任。
三、实际案例与影响
- 实际案例：在某些名誉权纠纷案件中，被告因侵犯原告名誉权被判决公开道歉，但拒不执行。法院随后采取了强制执行措施，在相关媒体上刊登了判决书内容和道歉声明，并要求被告支付了迟延履行金和诉讼费用。
- 社会影响：拒不执行公开道歉判决不仅损害了胜诉方的合法权益，也破坏了司法权威和社会诚信体系。同时，这也可能对被执行人的个人声誉和企业形象造成负面影响。
综上所述，如果法院要求公开道歉而被执行人拒不执行，将面临一系列严重的法律后果。因此，建议被执行人认真对待法院判决，及时履行义务，以避免不必要的法律风险和损失。如果您作为胜诉方遇到此类情况，应及时向法院提出强制执行申请，以维护自己的合法权益。