如果法院要求公开道歉，而被执行人却拒不执行，这确实是一个需要严肃对待的问题，因为这涉及到对司法权威的尊重和法律义务的履行。以下是对此问题的详细解答：

一、法律后果

1. 强制执行：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，对于拒不履行法院判决的当事人，法院有权采取一系列强制执行措施。这包括但不限于在媒体上刊登判决书内容、公告道歉声明等，以确保判决得到执行。这些措施的费用将由被执行人承担。
   • 此外，法院还可以对被执行人的财产进行查封、扣押、拍卖等，以迫使其履行义务。这是法院为了保障判决的有效执行而采取的一种强制手段。

2. 支付迟延履行金：

   • 如果被执行人未按判决指定的期间履行非金钱给付义务，如公开道歉，那么他们应当支付迟延履行金。迟延履行金的计算方式和金额将由法院根据具体情况来确定，以作为对被执行人拒不履行义务的一种经济惩罚。

3. 信用惩戒：

   • 被执行人的失信行为将被记录在个人或企业的信用档案中，这将对他们的未来经济活动产生负面影响。例如，他们可能难以获得贷款、参与招投标或进入某些市场。
   • 在某些情况下，被执行人还可能被列入“失信被执行人名单”，这将使他们受到更广泛的信用惩戒，包括限制高消费、限制出境等。

4. 刑事责任：

   • 如果被执行人有能力执行而拒不执行法院判决，且情节严重，那么他们可能构成拒不执行判决、裁定罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，这种行为可处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。

二、实际影响与建议

• 实际影响：拒不执行公开道歉判决不仅损害了胜诉方的合法权益，也破坏了司法权威和社会诚信体系。同时，这也可能对被执行人的个人声誉和企业形象造成长期的负面影响。
• 建议：对于被执行人来说，最好的做法是遵守法院判决，及时履行公开道歉的义务。如果确实存在困难或争议，可以通过合法途径提出申诉或上诉，而不是选择拒不执行。对于胜诉方来说，如果遇到被执行人拒不执行的情况，可以向法院申请强制执行，并寻求法律援助以维护自己的合法权益。

综上所述，拒不执行公开道歉判决将面临一系列严重的法律后果，包括强制执行、支付迟延履行金、信用惩戒和可能的刑事责任。因此，建议被执行人遵守法院判决，及时履行义务，以维护司法权威和社会诚信体系。