在法院判决名誉权侵权成立，侵权人需承担向被侵权人赔礼道歉的责任时，赔礼道歉的执行通常由法院负责监督。以下是对此问题的详细分析：

1. 法院的监督执行角色：

   • 当法院作出判决，要求侵权人向被侵权人赔礼道歉时，这一判决具有法律效力。侵权人必须履行这一义务，否则可能面临进一步的法律制裁。
   • 法院在判决生效后，会负责监督侵权人是否按照判决要求履行了赔礼道歉的义务。如果侵权人未履行，法院有权采取一系列措施来确保判决的执行。

2. 赔礼道歉的具体执行方式：

   • 赔礼道歉可以采取多种形式，如书面道歉、口头道歉或在公开媒体上发布道歉声明等。具体形式通常由法院根据案件情况和双方当事人的意愿来确定。
   • 在执行过程中，法院可能会要求侵权人提交书面道歉信，或者安排侵权人在特定场合进行口头道歉。如果双方当事人同意，也可以在公开媒体上发布道歉声明。

3. 未履行赔礼道歉义务的后果：

   • 如果侵权人未按照法院判决履行赔礼道歉的义务，被侵权人可以向法院申请强制执行。
   • 法院在受理强制执行申请后，会采取一系列措施来迫使侵权人履行义务，如冻结银行账户、查封财产、限制高消费等。在极端情况下，法院甚至可能对侵权人采取司法拘留等强制措施。

4. 实际操作中的注意事项：

   • 在实际操作中，被侵权人应密切关注侵权人的履行情况，并及时向法院报告任何未履行或不完全履行的情况。
   • 同时，被侵权人也可以与侵权人进行协商，寻求和解或达成其他形式的赔偿协议。然而，这并不影响法院对赔礼道歉义务的监督执行。

建议：

• 如果您作为被侵权人，发现侵权人未按照法院判决履行赔礼道歉的义务，应及时向法院申请强制执行，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，保持与法院的沟通联系，及时了解案件进展和执行情况，以便采取相应的措施。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务。