移送案件的行政机关对公安不立案决定不服的，可以在收到不予立案通知书后的7日内申请复议。具体分析如下：
一、法律程序与时间节点
根据相关法律规定及实务操作，当行政机关认为公安机关应当立案而未立案时，其救济途径及时间节点如下：
收到不予立案通知书：公安机关在作出不立案决定后，应当向移送案件的行政机关出具《不予立案通知书》，并说明理由。这是行政机关申请复议的前提条件。
申请复议的时间：行政机关在收到《不予立案通知书》后，如果认为公安机关的决定有误，可以在7日内向作出决定的公安机关申请复议。这一时间节点是法定的，行政机关应当严格遵守。
复议结果：公安机关在收到复议申请后，应当在30日内作出复议决定，并将复议决定书送达行政机关。如果复议决定维持原不立案决定，行政机关还可以进一步申请复核或采取其他法律救济措施。
二、复议申请的内容与要求
在申请复议时，行政机关应当注意以下几点：
提交书面申请：复议申请应当以书面形式提出，并明确说明申请复议的理由和依据。
附上相关证据：为了支持复议申请，行政机关可以附上与案件相关的证据材料，如报案记录、现场勘查笔录、证人证言等。
遵循法定程序：行政机关在申请复议时，应当遵循法定的程序和要求，确保复议申请的合法性和有效性。
三、其他法律救济措施
如果复议决定仍然维持原不立案决定，行政机关还可以考虑以下法律救济措施：
申请复核：行政机关可以在收到复议决定书后7日内，向作出复议决定的公安机关的上一级公安机关申请复核。上一级公安机关应当在30日内作出复核决定。
寻求检察院监督：根据《刑事诉讼法》的相关规定，行政机关还可以向人民检察院申请立案监督。人民检察院在收到申请后，会进行审查并作出相应的处理决定。
四、实务建议
及时沟通：在发现公安机关可能存在不立案的情况时，行政机关应当及时与公安机关进行沟通，了解不立案的具体原因和依据。
准备充分：在申请复议或复核时，行政机关应当准备充分的证据材料和法律依据，以支持自己的主张。
遵循法律程序：在整个过程中，行政机关应当严格遵守法律程序和要求，确保自己的权益得到合法保障。
希望以上分析能对你有所帮助。如果你还有其他法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。