结论前置：企业不能仅因劳动合同到期就随便辞退老员工，尤其是像您这样在民营企业干了十几年的老员工。劳动合同到期后，企业若想终止劳动关系，需遵循一定的法律程序和规定，否则可能构成违法解除劳动合同。
法律背景与解释：
劳动合同到期终止的法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。但是，这并不意味着企业可以随意终止与老员工的劳动关系。
- 特别是对于在用人单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的员工，以及在本单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的员工（若双方同意续订无固定期限劳动合同），企业不得依据劳动合同期满而终止劳动合同。虽然您的情况可能不完全符合这一特定保护情形（如未提及距法定退休年龄），但连续工作十几年的事实仍应得到企业的重视和合理对待。
经济补偿与赔偿：
- 如果企业决定在劳动合同到期后不续签，且不符合上述不得终止的情形，那么企业应当向员工支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照员工在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
- 如果企业未依法支付经济补偿，或者违法解除劳动合同（如未提前通知、未说明理由等），员工有权要求企业支付赔偿金，赔偿金的标准通常是经济补偿标准的两倍。
老员工的特殊保护：
- 对于像您这样在民营企业干了十几年的老员工，法律上虽然没有明确的“终身雇佣”或“必须续签”的规定，但企业应当考虑到员工的贡献和忠诚度，以及终止劳动关系可能对员工生活造成的重大影响。
- 在实际操作中，企业通常会与老员工进行协商，寻求双方都能接受的解决方案，如续签劳动合同、提供转岗机会或支付更高的经济补偿等。
法律建议：
- 与企业协商：首先，我建议您与企业进行友好协商，表达您希望继续工作的意愿，并了解企业不续签的具体原因。在协商过程中，您可以提及自己的工作年限、贡献以及终止劳动关系可能对您造成的影响，争取企业的理解和支持。
- 了解经济补偿标准：如果企业坚持不续签，您应当了解经济补偿的标准和计算方法，确保企业按照法律规定支付经济补偿。
- 寻求法律援助：如果企业拒绝支付经济补偿或存在其他违法行为，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
可能的法律后果：
- 如果企业违法解除劳动合同，除了需要支付赔偿金外，还可能面临劳动监察部门的处罚和声誉损失。
- 对于您个人而言，如果未能获得合理的经济补偿或解决方案，可能会对您的生活造成一定影响。因此，我建议您在采取任何行动前，先咨询专业律师（即我本人）的意见，以确保自己的权益得到充分保护。
最后，我希望您能够顺利解决这个问题。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。