结论：原行政拘留处罚5个月后被撤销，不重新立案的情况下，一般不可以对原案继续查办，但存在特定例外情形。以下从不同角度进行详细分析：
一、一般原则：撤销后不重新立案，不得继续查办
行政处罚撤销的法律后果：
- 当原行政拘留处罚被撤销后，该处罚决定即失去法律效力，视为自始不存在。这意味着，基于该处罚决定所进行的一系列行政行为（如执行、后续查办等）均失去了合法依据。
- 根据行政法的基本原则，行政机关在作出行政行为时，必须遵循合法、合理、公正、公开等原则。一旦行政行为被撤销，行政机关即不得再基于该行为进行后续操作。
不重新立案的法律意义：
- 立案是行政机关启动行政程序、进行调查取证、作出行政处罚等行为的前提和基础。不重新立案，即意味着行政机关没有启动新的行政程序，也就没有权力对原案进行继续查办。
- 从程序正义的角度来看，不重新立案而继续查办原案，可能侵犯当事人的合法权益，如知情权、参与权、申辩权等，违反行政程序的基本要求。
二、例外情形：特定情况下可继续查办
发现新证据或新事实：
- 如果在原行政拘留处罚被撤销后，行政机关发现了新的证据或新的事实，这些证据或事实足以证明原案存在违法行为，且该违法行为需要受到行政处罚，那么行政机关可以重新立案，并对原案进行继续查办。
- 但需要注意的是，重新立案必须基于新的证据或新的事实，且这些证据或事实必须经过严格的审查和核实，确保其真实性和合法性。
法律、法规或规章的特别规定：
- 在某些特定领域或特定情况下，法律、法规或规章可能规定了即使原行政处罚被撤销，行政机关仍可在一定条件下对原案进行继续查办。
- 例如，在涉及国家安全、公共安全等重大利益的案件中，法律可能赋予行政机关更广泛的调查权力和更灵活的查办方式。但这种情况属于例外中的例外，必须严格遵循法律、法规或规章的特别规定。
三、法律建议与风险提示
对行政机关的建议：
- 行政机关在撤销原行政拘留处罚后，应严格遵守法律程序，不得擅自对原案进行继续查办。如需继续查办，必须依法重新立案，并确保查办过程的合法性和公正性。
- 行政机关应加强对执法人员的培训和教育，提高其法律意识和程序意识，避免因程序违法而引发行政争议和法律风险。
对当事人的风险提示：
- 如果当事人发现行政机关在撤销原行政拘留处罚后，未经重新立案而擅自对原案进行继续查办，应及时向行政机关提出异议，并要求其停止违法行为。
- 当事人也可以依法向上一级行政机关或司法机关申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。
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