结论前置：
公司不可以拒绝提供劳动合同复印件。劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的重要法律文件，且根据法律规定，劳动合同文本应由用人单位和劳动者各执一份。因此，当员工不慎丢失自己的劳动合同副本时，有权向公司请求复印其留存的劳动合同文本，公司有义务协助提供。
若公司拒绝提供，员工可通过法律途径维护自身权益。员工可以向当地劳动监察部门投诉，请求他们依法进行监督检查并协助督促公司提供合同复印件。若劳动监察部门的处理未能满足员工的需求，员工还可以依法申请仲裁或提起诉讼来维护自身的合法权益。
详细分析：
一、公司有义务提供劳动合同复印件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十六条的规定，劳动合同由用人单位与劳动者协商一致，并经用人单位与劳动者在劳动合同文本上签字或者盖章生效。同时，该法条规定劳动合同文本应由用人单位和劳动者各执一份。这意味着，劳动合同不仅是双方劳动关系的证明，也是双方各自保留的重要法律文件。因此，当员工丢失自己的劳动合同副本时，有权向公司请求复印其留存的劳动合同文本，公司应当予以协助。
二、公司拒绝提供的法律后果
如果公司拒绝提供劳动合同复印件，员工可以采取以下法律措施来维护自身权益：
向劳动监察部门投诉：员工可以向当地劳动监察部门投诉公司未交付劳动合同文本的行为。劳动行政部门有权责令公司改正，并视情况要求公司承担赔偿责任。
申请劳动仲裁：若投诉无果，员工可以在一年仲裁时效期内向劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请，要求公司提供劳动合同复印件，并提供其他证据证明劳动关系。
提起诉讼：对仲裁裁决不服时，员工可以向人民法院提起诉讼。但需注意，劳动争议案件适用劳动仲裁前置程序，即必须先经过仲裁才能起诉。
三、员工在请求复印劳动合同时的注意事项
与前公司沟通：员工应与公司的人力资源部门或相关负责人进行沟通，说明复印劳动合同的合理用途（如办理相关证明、核实工作经历等），并请求对方提供协助。
确保复印件真实性：在获得复印件时，为了确保其法律效力及真实性，员工应要求公司在复印件上加盖公章或由相关负责人签字确认。
保留相关证据：在整个过程中，员工应注意收集和保留所有相关证据，如沟通记录、投诉回执、调解记录、仲裁申请书、法院传票等，以备不时之需。
四、替代证据的重要性
在某些情况下，如果劳动合同确实无法找回且公司拒绝提供复印件，员工仍可以通过其他证据来证明与公司的劳动关系。这些证据包括但不限于工作内容的相关证据、工作标识、公司制度依据、与公司主管领导的对话录音以及人证等。这些替代证据在劳动争议处理过程中同样具有重要作用，可以帮助员工维护自身的合法权益。
总结与建议：
当员工丢失劳动合同并请求公司复印时，公司应当予以协助并提供复印件。若公司拒绝提供，员工可以通过向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼等法律途径来维护自身权益。在整个过程中，员工应注意收集和保留相关证据，并了解并掌握相关的法律知识和应对措施。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。