续签劳动合同的提出方既可以是公司，也可以是员工，法律并未明确规定必须由哪一方提出。这一结论基于《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定及实际操作中的常见做法，以下从不同角度进行详细分析：
一、法律层面
公司提出续签：
- 法律要求：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除特定情形（如劳动者不同意续订）外，若公司不续签或降低劳动条件导致劳动者不同意续签的，公司需向劳动者支付经济补偿。这表明公司有责任在劳动合同期满前与劳动者就续签事宜进行沟通。
- 实际操作：公司通常会在原劳动合同到期前的一段时间（如1个月）内向劳动者发出续签意向书，明确告知续签意愿及新合同的主要条款。
员工提出续签：
- 权利依据：员工同样享有提出续签劳动合同的权利。当员工希望继续在公司工作时，可主动表达续签意愿。
- 实际操作：员工可通过书面形式（如申请报告）或口头形式向公司管理层或人力资源部门提出续签请求。若公司在降低原有劳动条件下拒绝员工的续签请求，员工有权要求经济补偿。
二、实际操作与建议
提前沟通：
- 无论哪一方提出续签，都建议提前与对方进行沟通，确保双方有足够的时间进行协商和准备。特别是公司，若不打算续签劳动合同，应提前30天书面通知员工，以避免不必要的法律纠纷。
协商一致：
- 续签劳动合同时，双方应就合同条款进行充分协商，确保各自权益得到保障。达成一致后，应签订新的劳动合同或续签协议，明确双方的权利和义务。
经济补偿：
- 在特定情况下，如公司不续签劳动合同或降低劳动条件导致员工不同意续签的，公司需按法律规定向员工支付经济补偿金。具体情形需根据法律规定和实际情况判断。
三、特殊情形下的续签问题
无固定期限劳动合同的续签：
- 对于符合订立无固定期限劳动合同条件的员工（如连续订立二次固定期限劳动合同且无法定解除情形），若其提出续签要求，除员工提出订立固定期限劳动合同外，公司应当与其订立无固定期限劳动合同。
医疗期与合同续签：
- 若员工在医疗期内劳动合同到期，公司不得因医疗期而拒绝续签劳动合同。员工在医疗期内应主动向公司提交相关证明文件，以保障自身权益。
四、法律后果与风险提示
公司未续签且继续用工：
- 若公司在劳动合同期满后未与员工续签，但继续用工的，根据《劳动合同法》第八十二条规定，公司应向员工每月支付二倍的工资，直至签订新的劳动合同或终止劳动关系。
公司不续签且终止劳动关系：
- 若公司不愿意与员工续签劳动合同并终止劳动关系的，根据《劳动合同法》第四十六条和第四十七条的规定，公司应向员工支付经济补偿金。经济补偿金按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
员工拒绝续签：
- 若员工拒绝与公司续签劳动合同，公司无需支付经济补偿金。但公司应书面通知员工终止劳动关系，并办理相关离职手续。
总结与建议：
续签劳动合同是公司与员工双方共同的责任和权利。为确保续签过程的顺利进行并有效保障双方的合法权益，我建议：
- 公司：在劳动合同到期前，应主动评估员工表现和企业需求，决定是否续签并及时通知员工。同时，应完善内部管理制度，避免因管理不善导致的法律风险。
- 员工：在劳动合同到期前，应明确自身续签意愿并及时向公司表达。若符合订立无固定期限劳动合同的条件，应主动提出要求并保留相关证据。
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