劳动合同续签的提出方既可以是用人单位，也可以是劳动者，关键在于双方需在平等、自愿、协商一致的基础上进行沟通和协商。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律层面分析
用人单位提出续签：
- 法律要求：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，用人单位有责任与劳动者就续签事宜进行沟通。若用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的，用人单位无需支付经济补偿；但若用人单位不续签或降低条件导致劳动者不同意续签的，则需支付经济补偿。
- 实际操作：用人单位通常会在原劳动合同到期前的一段时间（如1个月）内向劳动者发出续签意向书，明确告知续签意愿及新合同的主要条款。
劳动者提出续签：
- 权利依据：劳动者同样享有提出续签劳动合同的权利。当劳动者希望继续在用人单位工作时，可主动表达续签意愿。
- 实际操作：劳动者可通过书面形式（如申请报告）或口头形式向用人单位管理层或人力资源部门提出续签请求。若用人单位在降低原有劳动条件下拒绝劳动者的续签请求，劳动者有权要求经济补偿。
二、实际操作与建议
提前通知：
- 为确保双方有足够时间进行协商和准备，无论哪一方提出续签，都建议提前与对方沟通。特别是用人单位，若不打算续签劳动合同，应提前30天书面通知劳动者，以避免不必要的法律纠纷。
协商一致：
- 续签劳动合同时，双方应就合同条款进行充分协商，确保各自权益得到保障。达成一致后，应签订新的劳动合同或续签协议，明确双方的权利和义务。这包括但不限于工作内容、工作地点、工作时间、休息休假、劳动报酬、社会保险等条款。
经济补偿处理：
- 在特定情况下，如用人单位不续签劳动合同或降低劳动条件导致劳动者不同意续签的，用人单位需按法律规定向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的具体数额根据劳动者在本单位工作的年限和月工资标准来计算。
三、特殊情况下的续签
- 无固定期限劳动合同：若劳动者连续订立二次固定期限劳动合同且无法定解除情形，其提出续签要求订立无固定期限劳动合同的，用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。这是法律对劳动者的一种特殊保护。
四、法律后果提示
- 未及时续签的法律后果：若用人单位在劳动合同期满后未与劳动者续签，但继续用工的，根据《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位应向劳动者每月支付二倍的工资，直至签订新的劳动合同或终止劳动关系。因此，双方都应及时处理续签事宜，以避免不必要的法律风险。
综上所述，劳动合同续签是一个涉及双方权益的重要过程。无论是用人单位还是劳动者提出续签，都应遵循相关法律法规，确保双方的合法权益得到充分保障。如果您在劳动合同续签过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。