结论前置：当第二份合同到期，若公司未提前通知且不续签，是否需要赔偿以及赔偿多少，主要取决于是否存在特定免责情形以及劳动者的工作年限和工资水平。一般情况下，公司应支付经济补偿金，具体计算方式如下所述。

详细分析：

1. 经济补偿的支付条件：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，当第二份固定期限劳动合同到期后，如果公司选择不续签，或者虽然提出续签但降低了劳动条件导致劳动者不愿续签，且不存在劳动者严重违反用人单位规章制度等特定情形时，公司应当向劳动者支付经济补偿金。

2. 经济补偿的计算标准：

   • 经济补偿的计算主要依据劳动者在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资。
   • 具体计算公式为：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资。其中，工作年限每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算并支付一个月工资；不满六个月的，支付半个月工资。月工资指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
   • 特殊情形：如果劳动者的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

3. 特定情形下的免责：

   • 如果劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、被依法追究刑事责任等，导致公司决定不续签劳动合同的，公司无需支付经济补偿金。

4. 举例说明：

   • 假设劳动者在公司工作了4年6个月，劳动合同终止前十二个月的平均工资为8000元，且不存在免责情形。那么，公司应支付的经济补偿金为：4.5年（4年+6个月按1年算）× 8000元/年 = 36000元。
   • 如果劳动者的月工资高于当地上年度职工月平均工资的三倍，假设当地上年度职工月平均工资为5000元，三倍即为15000元，而劳动者的月工资为20000元。那么，经济补偿金将按15000元/月的标准支付，且支付年限最高不超过十二年。如果劳动者工作了10年，则经济补偿金为：10年 × 15000元/年（但受12年上限限制，实际按12年算，若未超12年则按实际年限） = 150000元（或按实际工作年限计算，若未超12年）。

5. 维权建议：

   • 劳动者在遇到合同到期不续签的情况时，应首先与公司进行沟通协商，明确公司的态度和理由。
   • 若双方无法达成一致，劳动者可以寻求劳动仲裁委员会或人民法院的帮助来维护自己的合法权益。
   • 为确保维权成功，劳动者应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以便在仲裁或诉讼过程中证明自己的主张。

总结与建议：第二份合同到期未提前通知不续签时，公司是否需要赔偿以及赔偿多少，主要取决于是否存在免责情形以及劳动者的工作年限和工资水平。劳动者在遇到此类情况时，应了解自己的权益和维权途径，并保留好相关证据以便在需要时维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。