结论：您与公司签订了10年的劳动合同，但只工作了两年就被公司开除，对于剩余的8年合同期限，您有权根据具体情况要求公司承担相应的法律责任，包括但不限于经济补偿或赔偿金。具体处理方式需依据开除的合法性来判断。
分析：
开除的合法性：
- 合法开除：如果公司开除您是基于合法的理由，如您严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等，且公司能够提供充分的证据证明其开除决定的合法性，那么公司可能不需要支付额外的经济补偿或赔偿金。但即便如此，公司仍需按照法律规定支付您已工作期间的工资及可能享有的其他福利待遇。
- 非法开除：如果公司开除您没有合法理由，或者无法提供充分的证据证明其开除决定的合法性，那么公司的行为可能构成违法解除劳动合同。在这种情况下，您有权要求公司支付经济补偿或赔偿金。
经济补偿或赔偿金的计算：
- 经济补偿：根据《劳动合同法》的规定，如果公司合法解除劳动合同但需要支付经济补偿的，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。但在此情况下，由于您仅工作了两年，且若公司合法开除则可能不支付此补偿（除非符合特定情形如劳动合同到期不续签等，但此情况不适用您被开除的情形），所以主要关注的是非法开除时的赔偿金。
- 赔偿金：如果公司违法解除劳动合同，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金是经济补偿的两倍。即，按照您已工作的年限（两年）计算经济补偿（两个月工资），然后乘以二，得到赔偿金为四个月工资。但需要注意的是，这里的“工资”是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
剩余合同期限的处理：
- 对于剩余的8年合同期限，由于劳动合同已经被公司单方面解除，您无法继续履行该合同。但您有权要求公司就违法解除合同的行为承担相应的法律责任，即支付赔偿金。
- 如果您希望继续工作，可以与公司协商是否有可能重新签订劳动合同或安排其他工作岗位。但这并非公司的法定义务，而是取决于双方的协商结果。
建议：
- 收集证据：首先，您需要收集与公司开除您相关的所有证据，包括开除通知、公司规章制度、您的工作记录等，以证明公司开除您的合法性或非法性。
- 协商解决：尝试与公司进行协商，看是否能够就经济补偿或赔偿金等问题达成一致意见。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付经济补偿或赔偿金。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关证据和仲裁申请书。
- 寻求法律帮助：在整个过程中，如果您感到困惑或无法处理相关问题，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
后续行动：
- 根据上述分析，您可以先与公司进行协商，看是否能够就赔偿问题达成一致。
- 如果协商无果，您可以准备相关证据和仲裁申请书，向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 在整个过程中，保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。