抚养费民事调解书下来后，对方仍然可以起诉要求变更抚养权。这两者并不冲突，因为抚养费和抚养权是两个独立的法律问题。下面我将从几个方面详细解释：
一、抚养费与抚养权的独立性
抚养费：是父母离婚后，不直接抚养子女的一方应负担的子女生活、教育等费用。抚养费的支付是基于父母的法定义务，旨在保障子女的正常生活和教育需求。
抚养权：是指父母对子女进行抚养、教育、保护的权利和义务。抚养权的归属通常基于子女的最佳利益原则，考虑父母的经济状况、生活环境、教育能力等多方面因素。
二、抚养费民事调解书与抚养权诉讼的关系
抚养费民事调解书：是双方就抚养费问题达成一致后，由法院出具的具有法律效力的文书。它主要解决的是抚养费的支付问题，并不涉及抚养权的归属。
抚养权诉讼：如果一方认为另一方不适合继续抚养子女，或者认为由自己抚养更有利于子女的成长，可以向法院提起诉讼，要求变更抚养权。
三、对方起诉要求变更抚养权的条件
存在变更抚养权的法定事由：如直接抚养子女的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女、不尽抚养义务或有虐待子女行为等。
变更抚养权更有利于子女的成长：法院在判决时会综合考虑子女的年龄、性别、生活环境、教育条件等多方面因素，以确定变更抚养权是否更有利于子女的成长。
四、建议与注意事项
积极应对诉讼：如果对方提起诉讼要求变更抚养权，您应积极准备应诉材料，如收集证明自己适合抚养子女的证据（如经济状况、生活环境、教育能力等），并按时出庭应诉。
尊重法院判决：无论法院最终判决如何，都应尊重并遵守。如果对判决结果有异议，可以在法定期限内提起上诉。
关注子女需求：在诉讼过程中，应始终关注子女的需求和感受，确保子女的权益得到充分保障。
举例说明：假设您和对方已经就抚养费问题达成了调解协议，并由法院出具了民事调解书。但之后，对方认为您不适合继续抚养子女，或者认为由自己抚养更有利于子女的成长，于是向法院提起了诉讼要求变更抚养权。在这种情况下，法院会重新审理抚养权问题，并根据子女的最佳利益原则作出判决。
总之，抚养费民事调解书下来后，对方仍然可以起诉要求变更抚养权。如果您面临这样的情况，建议积极应对诉讼，并关注子女的需求和感受。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。