结论：在私人雇佣关系中受伤住院，即使签了无第三方协议且已出院，若符合一定条件，仍然可以起诉雇主要求赔偿。

详细分析：

1. 雇佣关系的法律性质：

   • 私人雇佣关系，虽然不同于正式的劳动合同关系，但根据《民法典》的相关规定，雇主与雇员之间仍然存在一种民事法律关系。在这种关系中，雇主有义务为雇员提供安全的工作环境，并承担因工作原因导致的雇员受伤的赔偿责任。

2. 无第三方协议的影响：

   • 签了无第三方协议，并不意味着雇员就放弃了因工作受伤而要求雇主赔偿的权利。无第三方协议可能只是表明双方对于事故责任没有第三方（如保险公司或其他责任方）的介入，但并不影响雇员向雇主主张赔偿的民事权利。

3. 起诉的条件：

   • 要起诉雇主要求赔偿，雇员需要证明受伤是在工作过程中发生的，且与工作有直接关系。这通常需要提供医疗证明、工作记录、证人证言等证据。
   • 雇员还需要证明雇主在事故中存在过错，如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等。

4. 赔偿的范围：

   • 如果雇员能够证明上述条件，那么雇主可能需要赔偿的范围包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。如果因伤致残，还可能包括残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费等。

5. 实际操作建议：

   • 在起诉前，建议雇员先与雇主进行协商，看是否能够达成赔偿协议。如果协商无果，再考虑通过法律途径解决。
   • 起诉时，需要准备充分的证据来支持自己的主张。这可能包括医疗记录、工作记录、证人证言、照片或视频等。
   • 考虑到法律程序的复杂性和专业性，建议雇员在起诉前咨询专业律师，以确保自己的权益得到充分保障。

可能遇到的法律后果：

• 如果雇员能够成功证明雇主存在过错且受伤与工作有直接关系，那么法院可能会判决雇主承担相应的赔偿责任。
• 如果雇员无法提供充分的证据来支持自己的主张，或者法院认为雇主不存在过错，那么雇员的诉讼请求可能会被驳回。

总结与建议：

在私人雇佣关系中受伤住院后，即使签了无第三方协议且已出院，雇员仍然有权根据法律规定向雇主主张赔偿。但为了确保自己的权益得到充分保障，建议雇员在起诉前咨询专业律师，并准备充分的证据来支持自己的主张。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。