结论：偷1000元，警察不一定会跨省抓人，这取决于多种因素，包括案件的性质、嫌疑人的情况以及警方的资源分配等。
分析说明：
案件性质：
- 盗窃1000元，根据一般的法律规定，可能构成盗窃罪，但具体是否构成犯罪还需考虑当地的立案标准以及是否存在其他情节（如多次盗窃、入户盗窃等）。如果仅是一次性的普通盗窃，且金额不大，可能不会立即触发跨省追捕的严厉措施。
嫌疑人情况：
- 如果嫌疑人已经逃匿，且警方认为其可能逃往其他省份，那么根据案件的需要，警方可能会采取跨省追捕的措施。但如果嫌疑人仍在本地，或者警方能够通过其他手段（如电话通知、家属劝导等）使其归案，那么跨省追捕的可能性就相对较小。
警方资源分配：
- 跨省追捕需要消耗大量的人力、物力和财力资源。警方在决定是否跨省追捕时，会综合考虑案件的严重性、嫌疑人的危险性以及警方的资源状况。如果案件相对轻微，或者警方资源紧张，那么跨省追捕的可能性就会降低。
特殊场景：
- 如果盗窃行为涉及跨省作案、团伙作案或者嫌疑人具有重大危险性（如暴力犯罪前科、携带危险物品等），那么警方很可能会采取跨省追捕的措施，以确保社会的安全和稳定。
后续行动建议：
- 如果您或您身边的人涉及此类情况，建议尽快向警方自首，并积极配合警方的调查工作。自首是减轻或免除刑事处罚的重要情节，有助于争取更好的处理结果。
- 如果您对案件的处理有疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供有针对性的法律建议和帮助。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，盗窃罪是指以非法占有为目的，秘密窃取公私财物数额较大或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃公私财物的行为。具体立案标准和量刑幅度可能因地区而异，需参考当地的相关规定。
希望以上分析能够对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。