结论：盗窃4000元是否会跨省追捕，不能一概而论，需结合具体案情、犯罪嫌疑人的行为表现以及公安机关的侦查策略等多方面因素综合判断。以下从不同角度进行分析：

1. 从盗窃金额与刑事立案标准的角度：

   • 根据我国《刑法》及相关司法解释，盗窃公私财物，数额较大的，构成盗窃罪。而“数额较大”的具体标准，通常由各省、自治区、直辖市高级人民法院、人民检察院根据本地区经济发展状况，并考虑社会治安状况，在一定的幅度内确定。一般来说，盗窃数额在1000元至3000元以上，可认定为“数额较大”。因此，盗窃4000元，在多数地区已达到刑事立案标准，公安机关会依法进行侦查。
   • 但跨省追捕并非仅因盗窃金额达到立案标准就会启动。跨省追捕通常涉及犯罪嫌疑人逃匿至外省，且公安机关认为有必要进行跨省侦查以抓捕犯罪嫌疑人的情形。

2. 从犯罪嫌疑人的行为表现角度：

   • 如果犯罪嫌疑人在盗窃后立即逃匿，且公安机关通过侦查手段发现其已逃至外省，那么为了抓捕犯罪嫌疑人，公安机关可能会启动跨省追捕程序。
   • 如果犯罪嫌疑人在盗窃后未逃匿，或者虽逃匿但公安机关通过其他手段（如劝投、亲友协助等）能够迅速将其抓捕归案，则可能无需跨省追捕。

3. 从公安机关的侦查策略角度：

   • 公安机关在侦查过程中，会根据案情、犯罪嫌疑人的情况以及侦查资源等因素，制定合适的侦查策略。如果认为跨省追捕是抓捕犯罪嫌疑人的最佳方式，且具备跨省侦查的条件和资源，那么公安机关可能会决定跨省追捕。
   • 如果公安机关认为通过其他侦查手段（如技术侦查、情报侦查等）能够更有效地抓捕犯罪嫌疑人，或者跨省追捕的成本过高、风险过大，那么可能不会选择跨省追捕。

法律建议：

• 如果您或您身边的人涉嫌盗窃4000元，且担心可能面临跨省追捕，建议尽快向公安机关投案自首，争取从轻或减轻处罚。
• 同时，您可以咨询专业律师，了解具体的法律后果和辩护策略，以便更好地维护自己的合法权益。

可能后果：

• 如果犯罪嫌疑人被跨省追捕并抓捕归案，将面临刑事审判和可能的刑罚。根据《刑法》的规定，盗窃公私财物，数额较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。
• 如果犯罪嫌疑人能够主动投案自首，如实供述自己的罪行，根据《刑法》的规定，可以从轻或者减轻处罚。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。