结论：诈骗一千元是否会跨省抓人，并非绝对，而是需根据具体案情、法律规定及实际情况综合判断。以下是对此问题的详细分析：
通常不会跨省抓人的情况
未达刑事立案标准：
- 根据我国相关法律规定及司法解释，普通诈骗犯罪的刑事立案标准一般为诈骗公私财物价值三千元至一万元以上（具体标准由各地区根据经济发展状况等因素确定）。因此，若诈骗金额仅为一千元，通常尚未达到这一标准，将按治安案件处理。
- 在实践中，对于此类相对较轻且未达刑事标准的案件，公安机关一般不会投入大量资源跨省进行抓捕，而是由违法行为发生地的公安机关负责处理。例如，如果诈骗行为发生在A省，且金额为一千元，那么通常由A省的公安机关负责调查和处理，而不会跨省到B省去抓捕嫌疑人。
执法成本考量：
- 跨省抓捕涉及大量的人力、物力和财力支出，包括协调不同地区的公安机关、安排交通和住宿等。对于涉案金额较小的诈骗案件，从执法成本与效益的角度考虑，公安机关通常不会优先考虑跨省抓捕。
可能会跨省抓人的特殊情况
存在其他严重情节：
- 尽管诈骗金额仅为一千元，但若存在其他严重情节，如诈骗行为针对特定弱势群体（老年人、残疾人等）或造成其他严重的社会危害后果，公安机关可能会认为有必要对犯罪嫌疑人进行跨省抓捕，以维护法律尊严和社会公正。例如，如果诈骗行为是针对一位老年人，且造成了其精神上的严重伤害，那么公安机关可能会考虑跨省抓捕嫌疑人。
涉及系列诈骗或团伙作案：
- 若该诈骗行为是系列诈骗活动的一部分，或属于团伙作案的其中一环，犯罪嫌疑人在多个地区有类似的诈骗行为，且累计金额可能达到或超过刑事立案标准，为彻底打击整个诈骗团伙，公安机关可能会跨省协调调查并抓捕相关嫌疑人。例如，如果嫌疑人在A省和B省都有诈骗行为，且累计金额超过了一万元，那么公安机关可能会跨省进行抓捕。
构成其他违法或犯罪要件：
- 即使诈骗金额未达到刑事立案标准，但若行为人的行为已构成其他违法或犯罪的要件，如多次诈骗、使用虚假身份进行诈骗等，公安机关仍有权依法对其进行查处。在此情况下，若行为人跨省作案或逃匿至其他省份，公安机关有可能会采取跨省追捕措施。例如，如果嫌疑人多次使用虚假身份进行诈骗，且逃匿到了另一个省份，那么公安机关可能会跨省进行追捕。
法律建议：
- 如果您或身边的人遇到了诈骗行为，无论金额大小，都应及时向公安机关报案，以便他们能够及时采取措施进行查处。
- 在报案时，请尽可能提供详细的诈骗经过、嫌疑人的信息以及相关证据，这有助于公安机关更快地破案。
- 如果您对公安机关的处理有疑问或不满，可以依法向相关部门提出申诉或投诉。
后续行动指导：
- 如果您或身边的人成为了诈骗的受害者，除了报案外，还可以考虑咨询专业的法律人士，了解如何更好地维护自己的合法权益。
- 在日常生活中，要提高警惕，加强防范意识，避免成为诈骗的受害者。例如，不要轻易相信陌生人的电话或信息，不要随意透露个人信息或银行账户密码等。
如有任何进一步的问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。