结论：劳动者提起仲裁后，用人单位补正通知工会手续的合法性需分情况讨论，具体取决于补正的时间节点、程序合规性以及是否对劳动者权益造成实质影响。以下从不同角度详细分析：

1. 补正通知工会的时间节点

• 仲裁前未通知，仲裁后补正：
  根据《劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同需事先通知工会；若未通知，劳动者以“违法解除”为由申请仲裁后，用人单位在仲裁过程中补正通知手续的，原则上不影响仲裁裁决的合法性。但需满足两个条件：
  （1）补正通知需在仲裁裁决作出前完成；
  （2）工会实际收到通知并有机会发表意见（如出具书面意见）。
  法律依据：最高人民法院《关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第四十七条明确，若用人单位在仲裁阶段补正通知程序，且工会未提出异议，法院可认定解除行为合法。

• 仲裁裁决后补正：
  若用人单位在仲裁裁决生效后才补正通知工会，补正行为无效。此时仲裁裁决已认定解除行为违法，用人单位需承担赔偿责任（如支付赔偿金），补正通知无法推翻已生效的裁决。

2. 补正程序的合规性

• 形式要件：
  补正通知需以书面形式送达工会，并载明解除劳动合同的理由、依据及事实。若仅口头通知或未说明具体理由，可能被认定为程序瑕疵。
  示例：用人单位在仲裁中提交《补正通知工会函》，但未附解除劳动合同的证据（如严重违纪记录），工会可能以“事实不清”为由拒绝认可，导致补正无效。

• 工会意见的反馈：
  工会需在收到通知后合理期限内（通常为5-15日）回复意见。若用人单位未等待工会回复即强行解除劳动合同，仍可能被认定为违法解除。
  例外：若用人单位能证明工会未在法定期限内回复，且解除理由充分（如劳动者严重失职），法院可能酌情认定程序合法。

3. 对劳动者权益的实质影响

• 若补正未损害劳动者权益：
  如用人单位在仲裁中补正通知工会，且工会认可解除理由（如劳动者存在旷工行为），仲裁委可能认定解除行为合法，驳回劳动者赔偿请求。
  关键点：用人单位需承担举证责任，证明解除理由符合《劳动合同法》第三十九条（如严重违纪、刑事犯罪等）。

• 若补正损害劳动者权益：
  若用人单位补正通知系伪造证据（如虚构违纪事实），或工会因受胁迫出具同意意见，劳动者可主张解除行为违法，并要求支付赔偿金（标准为2N倍月工资）。
  风险提示：用人单位若被查实伪造证据，可能面临行政处罚（如罚款）或刑事责任（如妨害作证罪）。

4. 实务建议

• 对用人单位：
  （1）解除劳动合同前务必通知工会，并保留书面送达证据；
  （2）若未通知，需在仲裁阶段及时补正，并确保工会出具无异议意见；
  （3）避免伪造证据或胁迫工会，否则可能承担更严重法律后果。

• 对劳动者：
  （1）若用人单位未通知工会，可在仲裁中主张“程序违法解除”；
  （2）若用人单位补正通知，需核查工会意见的真实性及解除理由的合法性；
  （3）对仲裁裁决不服的，可在15日内向法院起诉，要求撤销违法解除决定。

总结：劳动者提起仲裁后，用人单位补正通知工会手续的合法性取决于时间节点、程序合规性及实质影响。建议双方在争议发生时及时咨询专业律师，通过证据固定和程序合规降低法律风险。如有具体案情，可直接向我咨询。